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Teil A – Schätzen 167 Ein Mann reinigt eine Turmuhr. Wie groß ist in etwa der Umfang des Ziffernblatts? Rechne mit p = 3. Beachte: Schätzen ist nicht Raten. Es geht vielmehr darum, eine Bezugsgröße zu suchen oder wie bei Aufgabe 5 ein Raster zu verwenden. Ein Erwachsener steht neben einem Stapel aus 20 gleichen Papierpackungen zu je 500 Blatt. Wie dick ist ungefähr jedes einzelne Blatt. Begründe rechnerisch. 2 Ein Erwachsener steht neben dem Modell eines Schuhs. Wie groß wäre ungefähr ein Mensch, dem dieser Schuh passen würde? Begründe rechnerisch. 4 Die Abbildung zeigt Algen auf einer Fläche von 1 mm2 in vergrößerter Darstellung. Wie viele Algen befinden sich dann ungefähr auf 1 cm2? Wie kann man geschickt vorgehen? Begründe. 5 Ein Auto steht auf einem Sockel mit kreisförmiger Grundfläche. Welchen Umfang hat der Sockel ungefähr? Begründe. Rechne mit p = 3. 3 Überprüfe den Lösungsweg. Übertrage ihn vollständig ins Heft.1 Lösung: Schritt 1: Bezugsgröße (bekannte Größe) suchen Ein Mann ist im Durchschnitt etwa 1,80 m groß. Schritt 2: Gesuchte Größe mit Hilfe der Bezugsgröße berechnen Die Bezugsgröße passt 4-mal in den Durchmesser des Ziffernblatts. d = 4 • 1,80 m = M u = M• 3 = ◆ Der Kapitelaufbau in Formel M9 Kapitel bearbeitet, abgehakt – und vergessen? Damit das nicht passiert, werden auf den Seiten Kreuz und quer frühere Lernbe reiche aufgegriffen. Ver suche hier ohne Taschenrechner und Formelsammlung zu arbeiten. Bist du fit? In den Trimm-dichAbschlussrunden kannst du es testen. Auf einen Blick: Der Stoff des Kapitels ist jetzt komplett. In unterschiedlichen Anforderungsstufen kannst du dein Wissen und Können vertiefen. Zur Kontrolle findest du die Lösungen ab Seite 191. Quali-Training: Eine wertvolle Hilfe auf deinem Weg zu einem erfolgreichen Quali. In der 9. Jahrgangsstufe darfst du bei Probe arbeiten und beim Quali eine Formelsammlung verwenden. Übe rechtzeitig und immer wieder den Umgang damit. 36 Dreiecke, Vierecke, Vielecke a h a Vierecke Rechteck Quadrat Parallelogramm u = 2.(a + b) A = a.b u = 4.a A = a.a = a2 u = 2.(a + b) A = a.h Raute (Rhombus) Drachen Trapez u = 4.a A = a.h A = e.f 2 u = 2.(a + b) A = e.f 2 u = a + b + c + d A = .h A = m.h a + c 2 Zusammengesetzte Flächen Besonderheit beim regelmäßigen Sechseck: Die Angabe einer Seitenlänge genügt für die Berechnung des Flächeninhalts. h = 3 ABest.-Dreieck = 3 ASechseck = 3.6 = a2 33 2 a 2 4 a 2 4 a 2 A = Summe der Teilflächen = A1 + A2 + A3 A = ergänztes Vieleck – ergänzte Flächen = a . b – (A1 + A2 + A3 + A4) Den Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen kann man unterschiedlich berechnen: Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) Anzahl der Seiten bzw. Ecken: n Mittelpunktswinkel: α α = 360°:n u = n.a ABest.-Dreieck = An-Eck = .n a.h 2 a.h 2 An-Eck = .r 2.sin αn 2 Bestimmungsdreieck Bestimmungsdreieck A a B D C b a b δ βα γ A a B D C a A B D C b h a A a B D C h e f a A a B D C f e b ba A a B D C b hd c m r a h A1 A2 A3 a bA A1 A3 A2 A4 KREUZ QUER + U N D 105 Rationale Zahlen a) Berechne. b) Stelle eine Gleichung auf und löse. Bruchteile Welcher Anteil der Gesamtfläche ist gefärbt? Notiere als Bruch, Dezimalbruch, in Prozent. Prozent Berechne die fehlenden Werte. Zahl A 5 + (–2) + (–4) B 2,25 – (–0,85) C 9 · (–4) · (–2) D –0,2 ÷ (–0,5) E 0,24 · (–5) · 0,5 F 84 ÷ (–3) ÷ (–7) Zu welcher Zahl muss man –7 addieren, um –36 zu erhalten? Mit welcher Zahl muss man –2,5 multipli zieren, um 17,5 zu erhalten? Durch welche Zahl muss man –28,8 teilen, um 3 zu erhalten? Von welcher Zahl muss man –3,9 subtrahieren, um –9 zu erhalten? A B C D Funktionaler Zusammenhang Messen A 14 dm3 83 cm3 B 3 m3 5 dm3 17 cm3 Daten und Zufall rot gelb grün weiß orange 55 51 552 554 53 a) b) c) d) e) G M 800 m 900 t 50 km M p 12% M 2,5% M 15% P 72 “ 120 m M 15 km 45 kg f) g) h) i) bisheriger 1 800 M 2 000 M Lohn in “ LohnerhöM 60 M 96 hung in “ Lohnerhö3 4 M 3 hung in % neuer Lohn M M 2 040 M in “ A 1 3 2 4 B Lineare Funktionen a) Übertrage ins Heft. Ermittle jeweils m und t. Stelle dann die Funktionsgleichung auf. b) Ordne einander zu. A y = 2x – 2 B y = 2x + 2 C y = 0,5x + 2 D y = 0,5x – 2 c) Zeichne die Geraden. A y = 2x + 3 B y = 0,5x – 2 Größen a) Ordne der Größe nach. A 600 kg; 6 000 000 mg; 0,06 t; 60 000 g B 70 m; 0,071 km; 699 dm; 70 007 mm b) Schreibe als Dezimalbruch. Wahrscheinlichkeit In einer Tüte befinden sich Gummibärchen in folgenden Farben. Ein Gummibärchen wird zufällig entnommen. Notiere die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent. A rot B gelb C grün D weiß E orange y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1 1 g 3 y x0 1 1 g 1 y x0 1 1 g 4 y x0 1 1 g 2 7 Aus einem Holzstamm wird ein Balken mit quadratischem Querschnitt gesägt. Wie lang ist die Quadratseite? 8 Berechne die gesuchten Strecken an Würfel und Drachen (Maße in cm). 9 a) Berechne die Höhe h der trapez förmigen Grundfläche. b) Bestimme den Rauminhalt des symmetrischen Körpers. Rechne mit p = 3,14. Runde auf zwei Dezimalstellen. 2 7 c m 9 cm 5 cm 3 cm 4 c m 3 cm h h 1 Zeichne mithilfe des Thaleskreises folgendes Dreieck: c = 12 cm, b = 40°, g = 90° 2 Welche Rechtecke sind zueinander ähnlich? Bestimme k. a) a = 6 cm, b = 4 cm b) a = 2 cm, b = 1 cm c) a = 1 cm, b = 2/3 cm d) a = 5,4 dm, b = 3,6 dm e) a = 18 cm, b = 16 cm f) alle Winkel 90° 3 a) Zeichne folgende Figur um den Faktor k = 3 vergrößert. b) Berechne die dunkelbraune Fläche der vergrößerten Figur. 4 Parallelogramm Drachen a = 6 cm; f = 8 cm; a = 120° a = 6 cm; b = 4 cm; b = 90° a) Zeichne die Vierecke. Erstelle jeweils eine Beschreibung. b) Überprüfe durch Berechnung, ob die Teildreiecke ähnlich sind. 5 Zeichne ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seitenlänge von 3 cm. Ergänze dann über die Winkelhalbierenden zu einem Zehneck. 6 a) Zeichne das Dreieck im Rechteck. Die Schnittpunkte liegen jeweils in den Seitenmitten. b) Berechne Umfang und Flächeninhalt des farbigen Dreiecks. c) Zeige durch Zeichnung, dass für die drei weißen Dreiecke der Satz von Thales gilt. 76 TRIMM-DICH-ABSCHLUSSRUNDE 32 3 0 x y 2812 z 6 cm 4 c m A B D C a f B D A C a b AUF EINEN BLICK Gleichungen und Formeln wiederholen 1 Fasse zusammen. a) 9y – 2x + 17 – 8x – 12y – 19 b) 14x – 13 + 17y – 11x – 21y – 7 c) –12a + 8 – b + 10a – 5b – 14 d) –34y + (17 – 14x) – (8 – 3y) – 16x e) –9b – (7 + 8a) + (6b – 9) + 7a 2 Übertrage die Tabelle ins Heft und fülle sie aus. Für welche der eingesetzten Zahlen ist der Bruchterm nicht definiert? 3 Löse die Klammern auf und fasse zusammen. a) (x + 3) · (x – 5) b) (3y + 5) · (2y + 2) c) (–2x + 3) · (4 – 3x) d) (7x + 2) · (7x – 3) e) (2x + 1) · (x + 3) + 17 4 Bestimme x. a) + – = 13 + b) – = 1 c) + = 7,45 d) – – 3 = – 2 e) – = 5 Gib den Definitionsbereich an und bestimme x. a) + = –4 b) – = – c) – 2 = + 4 d) + = e) – 1 = 9 f) = 6 Löse das Gleichungssystem. Wähle jeweils ein geschicktes Verfahren. a) I 2y + 1 = 6x b) I 4y + 5x = 31 II y – 2x = 1 II 22 = 4y + 2x c) I 5y + 8x = 248 d) I 4y + 5x = 2 II 8y + 5x = 272 II 7y + 5x = 11 x 2 x 5 x 6 x 10 5x – 3 4 3x + 3 2 64 – 4x 5 2x – 1 4 x 12 x 6 2 3 x 3 x – 4 2 x + 2 9 2x – 5 3 9 x 6 2x 7 3x 5 6x 1 4 9 2x 3 2x 7 3 1 – 12x 3x 7 x 100 x + 2 4 4 + x 2 x – 3 Terme mit mehreren Variablen Bruchterme Produkte von Summen und Differenzen Bruchgleichungen lösen Gleichungssysteme lösen 101 Variablen ordnen, zusammenfassen und vereinfachen. 2 (2x + 3y – 4) – (2 + 3y – x) · 3 = 4x + 6y – 8 – 6 – 9y + 3x = 7x – 3y – 14 Keine Zahlen einsetzen, für die der Nenner null wird. 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 a) 5 – –5 b) 1 c) – d) 5 x 2 x – 2 3 15 6 2x – 8 3 (x – 1)(x + 1) 5 4 5 3 5 2 (a + b) · (c + d) (a – b) · (c – d) = ac + ad + bc + bd = ac – ad – bc + bd –10 + = Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x · (–10) + = Kürzen –60x + 2 = 62 /–2 Äquivalenzumformung –60x = 60 / ÷ (–60) x = –1 Lösung Definitionsbereich: alle Zeichen außer 0 Gleichsetzungsverfahren I x – 2y = –1 Beide Gleichungen nach II x + 3y = 9 derselben Variablen auflösen I x = 2y – 1 II x = 9 – 3y Gleichsetzen I = II 2y – 1 = 9 – 3y Einsetzungsverfahren I 3y + x = 6 Eine Gleichung auflösen II 2y – 3x = 11 I x = 6 – 3y II 2y – 3x = 11 Einsetzen I in II 2y – 3 (6 – 3y) = 11 Additionsverfahren I 2y – 3x = 1 /·(–2) Umformen, sodass bei einer II 4y – 5x = 3 Variablen Gegenzahlen sind I –4y + 6x = –2 II 4y – 5x = 3 Addieren I + II x = 1 1 3x 62 6x 6x 3x 6x.62 6x 2 1 1 1 en tun % lgungsplan: Schuldsumme ins und Tilgung jährliche Rate Restschuld Wie hoch ist die monatliche Belastung? Momentan fehlen aber noch 100 000 “. Nu zu P rü fzw ec k n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs

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Teil A – Schätzen 167 Ein Mann reinigt eine Turmuhr. Wie groß ist in etwa der Umfang des Ziffernblatts? Rechne mit p = 3. Beachte: Schätzen ist nicht Raten. Es geht vielmehr darum, eine Bezugsgröße zu suchen oder wie bei Aufgabe 5 ein Raster zu verwenden. Ein Erwachsener steht neben einem Stapel aus 20 gleichen Papierpackungen zu je 500 Blatt. Wie dick ist ungefähr jedes einzelne Blatt. Begründe rechnerisch. 2 Ein Erwachsener steht neben dem Modell eines Schuhs. Wie groß wäre ungefähr ein Mensch, dem dieser Schuh passen würde? Begründe rechnerisch. 4 Die Abbildung zeigt Algen auf einer Fläche von 1 mm2 in vergrößerter Darstellung. Wie viele Algen befinden sich dann ungefähr auf 1 cm2? Wie kann man geschickt vorgehen? Begründe. 5 Ein Auto steht auf einem Sockel mit kreisförmiger Grundfläche. Welchen Umfang hat der Sockel ungefähr? Begründe. Rechne mit p = 3. 3 Überprüfe den Lösungsweg. Übertrage ihn vollständig ins Heft.1 Lösung: Schritt 1: Bezugsgröße (bekannte Größe) suchen Ein Mann ist im Durchschnitt etwa 1,80 m groß. Schritt 2: Gesuchte Größe mit Hilfe der Bezugsgröße berechnen Die Bezugsgröße passt 4-mal in den Durchmesser des Ziffernblatts. d = 4 • 1,80 m = M u = M• 3 = ◆ Der Kapitelaufbau in Formel M9 Kapitel bearbeitet, abgehakt – und vergessen? Damit das nicht passiert, werden auf den Seiten Kreuz und quer frühere Lernbe reiche aufgegriffen. Ver suche hier ohne Taschenrechner und Formelsammlung zu arbeiten. Bist du fit? In den Trimm-dichAbschlussrunden kannst du es testen. Auf einen Blick: Der Stoff des Kapitels ist jetzt komplett. In unterschiedlichen Anforderungsstufen kannst du dein Wissen und Können vertiefen. Zur Kontrolle findest du die Lösungen ab Seite 191. Quali-Training: Eine wertvolle Hilfe auf deinem Weg zu einem erfolgreichen Quali. In der 9. Jahrgangsstufe darfst du bei Probe arbeiten und beim Quali eine Formelsammlung verwenden. Übe rechtzeitig und immer wieder den Umgang damit. 36 Dreiecke, Vierecke, Vielecke a h a Vierecke Rechteck Quadrat Parallelogramm u = 2.(a + b) A = a.b u = 4.a A = a.a = a2 u = 2.(a + b) A = a.h Raute (Rhombus) Drachen Trapez u = 4.a A = a.h A = e.f 2 u = 2.(a + b) A = e.f 2 u = a + b + c + d A = .h A = m.h a + c 2 Zusammengesetzte Flächen Besonderheit beim regelmäßigen Sechseck: Die Angabe einer Seitenlänge genügt für die Berechnung des Flächeninhalts. h = 3 ABest.-Dreieck = 3 ASechseck = 3.6 = a2 33 2 a 2 4 a 2 4 a 2 A = Summe der Teilflächen = A1 + A2 + A3 A = ergänztes Vieleck – ergänzte Flächen = a . b – (A1 + A2 + A3 + A4) Den Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen kann man unterschiedlich berechnen: Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) Anzahl der Seiten bzw. Ecken: n Mittelpunktswinkel: α α = 360°:n u = n.a ABest.-Dreieck = An-Eck = .n a.h 2 a.h 2 An-Eck = .r 2.sin αn 2 Bestimmungsdreieck Bestimmungsdreieck A a B D C b a b δ βα γ A a B D C a A B D C b h a A a B D C h e f a A a B D C f e b ba A a B D C b hd c m r a h A1 A2 A3 a bA A1 A3 A2 A4 KREUZ QUER + U N D 105 Rationale Zahlen a) Berechne. b) Stelle eine Gleichung auf und löse. Bruchteile Welcher Anteil der Gesamtfläche ist gefärbt? Notiere als Bruch, Dezimalbruch, in Prozent. Prozent Berechne die fehlenden Werte. Zahl A 5 + (–2) + (–4) B 2,25 – (–0,85) C 9 · (–4) · (–2) D –0,2 ÷ (–0,5) E 0,24 · (–5) · 0,5 F 84 ÷ (–3) ÷ (–7) Zu welcher Zahl muss man –7 addieren, um –36 zu erhalten? Mit welcher Zahl muss man –2,5 multipli zieren, um 17,5 zu erhalten? Durch welche Zahl muss man –28,8 teilen, um 3 zu erhalten? Von welcher Zahl muss man –3,9 subtrahieren, um –9 zu erhalten? A B C D Funktionaler Zusammenhang Messen A 14 dm3 83 cm3 B 3 m3 5 dm3 17 cm3 Daten und Zufall rot gelb grün weiß orange 55 51 552 554 53 a) b) c) d) e) G M 800 m 900 t 50 km M p 12% M 2,5% M 15% P 72 “ 120 m M 15 km 45 kg f) g) h) i) bisheriger 1 800 M 2 000 M Lohn in “ LohnerhöM 60 M 96 hung in “ Lohnerhö3 4 M 3 hung in % neuer Lohn M M 2 040 M in “ A 1 3 2 4 B Lineare Funktionen a) Übertrage ins Heft. Ermittle jeweils m und t. Stelle dann die Funktionsgleichung auf. b) Ordne einander zu. A y = 2x – 2 B y = 2x + 2 C y = 0,5x + 2 D y = 0,5x – 2 c) Zeichne die Geraden. A y = 2x + 3 B y = 0,5x – 2 Größen a) Ordne der Größe nach. A 600 kg; 6 000 000 mg; 0,06 t; 60 000 g B 70 m; 0,071 km; 699 dm; 70 007 mm b) Schreibe als Dezimalbruch. Wahrscheinlichkeit In einer Tüte befinden sich Gummibärchen in folgenden Farben. Ein Gummibärchen wird zufällig entnommen. Notiere die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent. A rot B gelb C grün D weiß E orange y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1 1 g 3 y x0 1 1 g 1 y x0 1 1 g 4 y x0 1 1 g 2 7 Aus einem Holzstamm wird ein Balken mit quadratischem Querschnitt gesägt. Wie lang ist die Quadratseite? 8 Berechne die gesuchten Strecken an Würfel und Drachen (Maße in cm). 9 a) Berechne die Höhe h der trapez förmigen Grundfläche. b) Bestimme den Rauminhalt des symmetrischen Körpers. Rechne mit p = 3,14. Runde auf zwei Dezimalstellen. 2 7 c m 9 cm 5 cm 3 cm 4 c m 3 cm h h 1 Zeichne mithilfe des Thaleskreises folgendes Dreieck: c = 12 cm, b = 40°, g = 90° 2 Welche Rechtecke sind zueinander ähnlich? Bestimme k. a) a = 6 cm, b = 4 cm b) a = 2 cm, b = 1 cm c) a = 1 cm, b = 2/3 cm d) a = 5,4 dm, b = 3,6 dm e) a = 18 cm, b = 16 cm f) alle Winkel 90° 3 a) Zeichne folgende Figur um den Faktor k = 3 vergrößert. b) Berechne die dunkelbraune Fläche der vergrößerten Figur. 4 Parallelogramm Drachen a = 6 cm; f = 8 cm; a = 120° a = 6 cm; b = 4 cm; b = 90° a) Zeichne die Vierecke. Erstelle jeweils eine Beschreibung. b) Überprüfe durch Berechnung, ob die Teildreiecke ähnlich sind. 5 Zeichne ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seitenlänge von 3 cm. Ergänze dann über die Winkelhalbierenden zu einem Zehneck. 6 a) Zeichne das Dreieck im Rechteck. Die Schnittpunkte liegen jeweils in den Seitenmitten. b) Berechne Umfang und Flächeninhalt des farbigen Dreiecks. c) Zeige durch Zeichnung, dass für die drei weißen Dreiecke der Satz von Thales gilt. 76 TRIMM-DICH-ABSCHLUSSRUNDE 32 3 0 x y 2812 z 6 cm 4 c m A B D C a f B D A C a b AUF EINEN BLICK Gleichungen und Formeln wiederholen 1 Fasse zusammen. a) 9y – 2x + 17 – 8x – 12y – 19 b) 14x – 13 + 17y – 11x – 21y – 7 c) –12a + 8 – b + 10a – 5b – 14 d) –34y + (17 – 14x) – (8 – 3y) – 16x e) –9b – (7 + 8a) + (6b – 9) + 7a 2 Übertrage die Tabelle ins Heft und fülle sie aus. Für welche der eingesetzten Zahlen ist der Bruchterm nicht definiert? 3 Löse die Klammern auf und fasse zusammen. a) (x + 3) · (x – 5) b) (3y + 5) · (2y + 2) c) (–2x + 3) · (4 – 3x) d) (7x + 2) · (7x – 3) e) (2x + 1) · (x + 3) + 17 4 Bestimme x. a) + – = 13 + b) – = 1 c) + = 7,45 d) – – 3 = – 2 e) – = 5 Gib den Definitionsbereich an und bestimme x. a) + = –4 b) – = – c) – 2 = + 4 d) + = e) – 1 = 9 f) = 6 Löse das Gleichungssystem. Wähle jeweils ein geschicktes Verfahren. a) I 2y + 1 = 6x b) I 4y + 5x = 31 II y – 2x = 1 II 22 = 4y + 2x c) I 5y + 8x = 248 d) I 4y + 5x = 2 II 8y + 5x = 272 II 7y + 5x = 11 x 2 x 5 x 6 x 10 5x – 3 4 3x + 3 2 64 – 4x 5 2x – 1 4 x 12 x 6 2 3 x 3 x – 4 2 x + 2 9 2x – 5 3 9 x 6 2x 7 3x 5 6x 1 4 9 2x 3 2x 7 3 1 – 12x 3x 7 x 100 x + 2 4 4 + x 2 x – 3 Terme mit mehreren Variablen Bruchterme Produkte von Summen und Differenzen Bruchgleichungen lösen Gleichungssysteme lösen 101 Variablen ordnen, zusammenfassen und vereinfachen. 2 (2x + 3y – 4) – (2 + 3y – x) · 3 = 4x + 6y – 8 – 6 – 9y + 3x = 7x – 3y – 14 Keine Zahlen einsetzen, für die der Nenner null wird. 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 a) 5 – –5 b) 1 c) – d) 5 x 2 x – 2 3 15 6 2x – 8 3 (x – 1)(x + 1) 5 4 5 3 5 2 (a + b) · (c + d) (a – b) · (c – d) = ac + ad + bc + bd = ac – ad – bc + bd –10 + = Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x · (–10) + = Kürzen –60x + 2 = 62 /–2 Äquivalenzumformung –60x = 60 / ÷ (–60) x = –1 Lösung Definitionsbereich: alle Zeichen außer 0 Gleichsetzungsverfahren I x – 2y = –1 Beide Gleichungen nach II x + 3y = 9 derselben Variablen auflösen I x = 2y – 1 II x = 9 – 3y Gleichsetzen I = II 2y – 1 = 9 – 3y Einsetzungsverfahren I 3y + x = 6 Eine Gleichung auflösen II 2y – 3x = 11 I x = 6 – 3y II 2y – 3x = 11 Einsetzen I in II 2y – 3 (6 – 3y) = 11 Additionsverfahren I 2y – 3x = 1 /·(–2) Umformen, sodass bei einer II 4y – 5x = 3 Variablen Gegenzahlen sind I –4y + 6x = –2 II 4y – 5x = 3 Addieren I + II x = 1 1 3x 62 6x 6x 3x 6x.62 6x 2 1 1 1 en tun % lgungsplan: Schuldsumme ins und Tilgung jährliche Rate Restschuld Wie hoch ist die monatliche Belastung? Momentan fehlen aber noch 100 000 “. Nu zu P rü fzw ec k n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs
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