Die Themenseite enthält oftmals anspruchsvolle Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathematischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil fi ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch; die Lösungen dazu fi ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind Grundaufgaben des Kapitels, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle im dritten Teil könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr fi ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. 271.6 Themenseite: Alles ähnlich beim Falten Fischige Angelegenheiten Falte aus Origamipapier einen Fisch nach der obigen Anleitung und entfalte ihn wieder. Färbe in dem Faltmuster die markierten Dreiecke ein. a) Begründe, dass die markierten Dreiecke jeweils ähnlich zueinander sind. b) Bestimme jeweils den Faktor k, um den die Seiten gestreckt wurden. Ähnliche Flächen Falte aus Origamipapier den Fisch nach der Anleitung der Vorseite und entfalte ihn wieder. Das blaue Dreieck stellt für die folgenden Aufgaben eine Grundfi gur dar. a) Begründe, warum die markierten Dreiecke jeweils ähnlich zueinander sind. b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle sie anhand der folgenden beiden Fragen aus. 1 Bestimme jeweils den Streckfaktor k, mit dem die markierten Dreiecke aus dem blauen Dreieck entstanden sind. 2 Mit wie vielen blauen Dreiecken kann man jeweils die anderen Dreiecke auslegen? c) Beschreibe den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor und dem Flächeninhalt ähnlicher Figuren, wie du ihn aus b) erkennen kannst. Überprüfe den Zusammenhang an beliebigen weiteren ähnlichen Figuren. Lauter Strahlen Ein Blatt durch Falten zu Vierteln ist ziemlich einfach. Doch wie lässt es sich – nicht nur nach Augenschein, sondern exakt – dritteln? a) Suche in dem Faltmuster nach möglichst vielen Strahlensatzfi guren und markiere diese farbig. b) Eine Quadratseite soll nun die Länge 1 haben. Zeige über die Untersuchung von Seitenverhältnissen aus Strahlensatzfi guren, dass x die Quadratseite drittelt. 26 x = ? 1 LE 1 LE Dreieck blau rot grün gelb Streckfaktor k 1 Anzahl Grundfi guren 1 1 2 3 4 Lege die farbige Fläche nach oben, falte Diagonalen und Mittellini 1 en und öffne wieder. Viertele jede Quadratseite und öffne wieder. Falte alle vier Ecken zur Mitte. Öffne drei Ecken wieder, n teur die rech untere Ecke bleibt eingeklappt. Wende das Blatt. Knicke entlang der blau gezeichneten Kanten so um, dass die Mittelpunkte der Quadratseiten auf den Schnittpunkt in der Quadratmitte fallen, wobei … die drei äußeren Ecken hoch stehen. Diese bilden Flossen und Schwanz. Die Flossen werden in Richtung Schwanz umgelegt, dieser wird selbst nach unten geklappt. Knicke für den Schwanz die nach unten geklappte Ecke zur Hälfte nach oben, sodass Kante auf Kante liegt. Drehe die Figur: Der Fisch ist fertig. 2 3 4 5 6 4 Kopf Schwanz Falte das Quadrat zur Hälfte und entlang einer Diagonale. Falte die Diagonale im Rechteck einer Quadrathälfte so, dass sich diese Diagonale mit der aus Schritt 1 schneidet. Die untere und obere Quadratseite (und somit auch die Fläche) wird durch die Faltung gedrittelt. Falte nun eine Linie parallel zur Mittelfaltung, die den Schnittpunkt der beiden Diagonalen enthält. 1 2 3 4 28 29 6 Bestimme den Maßstab der Zeichnung eines Rechtecks mit … a) a = 40 m und b = 25 m, dessen Umfang in einer maßstäblichen Zeichnung 52 cm beträgt. b) a = 800 m und b = 450 m, dessen Flächeninhalt in einer maßstäblichen Zeichnung 9 cm2 beträgt. 7 Bestimme den Faktor k, wenn es sich um eine Vergrößerung (Verkleinerung) handelt. a) b) 8 Welche Figuren sind zueinander ähnlich? 9 Entscheide, ob die Dreiecke ABC und A’B’C’ ähnlich zueinander sind. Begründe. a) a = 4 cm; b = 6 cm; c = 3,5 cm a’ = 6 cm; b’ = 9 cm; c’ = 4,5 cm b) _ = 42°; ` = 77°; c = 45 mm `’ = 77°; a’ = 61°; a’ = 6 cm c) _ = 56°; b = 3,4 cm; c = 7,4 cm _’ = 56°; b’ = 43,18 dm; c’ = 9398 mm d) a = 56°; a = 8 cm; c = 7 cm `’ = 56°; b’ = 8 mm; a’ = 7 mm e) _ = ` = 60° a’ = b’ = c’ = 2,8 cm f) a = 90°; a = 3 cm; b = 4 cm c’ = 15 cm; a = 9 cm; b = 12 cm Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten fi ndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Eine 14 cm lange Strecke soll im Verhältnis 3 : 4 geteilt werden. Berechne die Längen der beiden Teilstrecken. 2 In welchem Verhältnis stehen die Längen der Strecken ___ AB und ___ CD zueinander? 3 Zeichne eine Strecke ___ CD = 7,8 cm. Teile diese Strecke mithilfe des Strahlensatzes in 3 (4, 5) gleich lange Teilstrecken. 4 Zeichne ein Rechteck ABCD mit den Seitenlängen a = 4,0 cm und b = 5,0 cm. a) Strecke das Rechteck mit den Streckfaktoren … 1 k = 1 __ 2 . 2 k = 1,5. Wähle hierbei das Streckzentrum Z so, dass … A es auf einem Eckpunkt des Rechtecks liegt. B es innerhalb des Rechtecks liegt. b) Vergleiche die Flächeninhalte des Originalrechtecks mit den Flächeninhalten der Bildrechtecke. 5 Übertrage die Figur in dein Heft und vergrößere sie mit k = 3. a) b) . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 10 Stelle möglichst viele Zusammenhänge zwischen Streckenlängen mit dem 1. und 2. Strahlensatz her. 11 Berechne die fehlenden Streckenlängen x und y. 12 Überprüfe, ob es sich bei dieser Figur um eine Strahlensatzfi gur handelt. Begründe. 13 Berechne die Höhe h des Turms. 1.7 Das kann ich! Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 6, 7, 15 bei Figuren den Streckfaktor und Maßstab bestimmen. S. 8 4, 5, 14 Figuren maßstäblich vergrößern und verkleinern. S. 10 8, 16 ähnliche Figuren erkennen. S. 14 9, 17, 18 erkennen, wenn Dreiecke ähnlich zueinander sind. S. 16 3, 10, 12, 19 Streckenverhältnisse anhand der Strahlensätze aufstellen. S. 18 11, 13, 20 Strahlensätze nutzen, um Streckenlängen zu bestimmen. S. 18 Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 14 Beim maßstäblichen Vergrößern mit dem Faktor k = 2 werden alle Streckenlängen und Winkelgrößen verdoppelt. 15 Der Streckfaktor k = 1 __ 4 entspricht dem Maßstab 1 : 4. 16 Ähnliche Figuren stimmen in ihrer Form überein. 17 Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen. 18 Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in der Größe eines Winkels übereinstimmen. 19 Die Strahlensätze kann man anwenden, wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei weiteren Geraden geschnitten werden. 20 Mithilfe der Strahlensätze lassen sich oftmals auch unzugängliche Streckenlängen bestimmen. A B DC F A D HG E C B n m t g g || h h B A A’ B’ Z s x y y x 6,4 cm 3,0 cm 3,6 cm 4,0 cm Z 4,9 cm 5,9 cm Z 7,8 cm 6,5 cm b a 20,4 m h 1,8 m 1,5 m S. 8 Beispiel: a = 3,2 cm; b = 8,0 cm Verhältnis: a : b = 3,2 : 8,0 = 32 : 80 oder a : b = 2 : 5 Unter dem Verhältnis a : b (lies: a zu b) zweier Streckenlängen a und b versteht man den Quotienten ihrer Maßzahlen (bei gleichen Längeneinheiten). S. 10 Bei maßstäblichen Vergrößerungen und Verkleinerungen legt der Maßstab fest, in welchem Verhältnis die Länge der Bildstrecke zur Länge der Originalstrecke steht. Man nennt diesen Maßstab Streckfaktor k. k = Länge der Bildstrecke ___________________ Länge der Originalstrecke S. 14 Zueinander ähnliche Figuren besitzen die gleiche Form. Sie stimmen überein … • in den entsprechenden Winkeln. • im Verhältnis einander entsprechender Seiten. Zwei Figuren A und B heißen ähnlich zueinander, wenn sie durch maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern auseinander hervorgegangen sind. Man schreibt: A ~ B (sprich: A „ist ähnlich zu“ B.). S. 16 Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie … 1 in den Maßen zweier Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichkeitssatz). 2 in den Verhältnissen dreier Seiten übereinstimmen. 3 in den Verhältnissen zweier Seiten und dem Maß des von ihnen eingeschlossenen Winkels übereinstimmen. 4 in den Verhältnissen zweier Seiten und dem Maß des Gegenwinkels der größeren Seite übereinstimmen. S. 18 1. Strahlensatz Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann stehen einander entsprechende Streckenabschnitte auf den Geraden durch Z im gleichen Verhältnis. 2. Strahlensatz Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann ist das Verhältnis der Streckenabschnitte auf den Parallelen gleich dem zugehörigen Streckenverhältnis auf jeder der Geraden durch Z. 1 3 4 2 30 1.8 Auf einen Blick 0 k 1 Verkleinerung Original Vergrößerung Z k 1 Z h g || h b a g A A’ B B’ Z h g || h b a g A A’ B B’ Zh g || h g A A’ B B’ b a Zh g || h g A A’ B B’ ___ ZA ___ ___ ZA’ = ___ ZB ___ ___ ZB’ ___ ZA ___ ___ ZA’ = ___ ZB ___ ___ ZB’ ___ ZA ___ ___ ZA’ = ___ AB ____ ____ A’B’ ___ ZA ___ ___ ZA’ = ___ AB ____ ____ A’B’ Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen 1 ___ 12 + 4 __ 9 = 3 ___ 36 + 16 ___ 36 = 3 + 16 _____ 36 = 19 ___ 36 Hauptnenner: 36, denn V12 = {12; 24; 36; 48; …} V9 = {9; 18; 27; 36; 45; …} Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren (Subtrahieren) erst auf denselben (Haupt-)Nenner erweitert bzw. gekürzt. Anschließend wird der Zähler addiert (subtrahiert), der gemeinsame Nenner bleibt erhalten. Unter dem Hauptnenner versteht man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. 4 __ 7 · 2 __ 9 = 4 · 2 ____7 · 9 = 8 ___ 63 Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multi pliziert. 3 __ 4 : 2 __ 3 = 3 __ 4 · 3 __ 2 = 3 · 3 ____4 · 2 = 9 __ 8 Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Beim Kehrbruch werden Zähler und Nenner des Bruchs vertauscht. Anzahl Personen J Eintrittspreis in f Mögliche Sprechweisen: • Der Anzahl von Personen wird ein Eintritts preis zugeordnet. • Der Eintrittspreis hängt von der Anzahl der Personen ab. Bei einer Zuordnung werden Größen oder Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt. Jede Ausgangsgröße wird dabei mit einer zugeordneten Größe verbunden. Zuordnungen können in Tabellen, Diagrammen oder durch Terme dargestellt werden. Menge der natürlichen Zahlen: = {0; 1; 2; 3; 4; …} Menge der ganzen Zahlen: = {…; –2; –1; 0; 1; 2; …} Menge der rationalen Zahlen: Möglichkeiten für die Lösungsmenge: • Es gibt keine Lösung in : = { }. • Es gibt Lösungen in , z. B.: = {–3; 2}. • Alle Zahlen aus sind Lösung: = . Beim Lösen von Gleichungen ist es möglich, dass nur bestimmte Zahlen zulässig sind. Als Defi nitionsmenge fasst man diejenigen Zahlen zusammen, aus der alle Ergebnisse einer Gleichung stammen dürfen. Alle Zahlen aus der Defi nitionsmenge, die eine Gleichung lösen, bezeichnet man als Lösungs menge . Man zählt alle Lösungen in der Lösungsmenge auf. Zusammenfassung gleichartiger Summanden: 2x – 3y – 6x + 3y = (2 – 6) x + (–3 + 3) y = –4x Mathematische Zusammenhänge lassen sich mithilfe von Termen und Variablen beschreiben. Terme lassen sich anhand der bekannten Rechenregeln vereinfachen. Dadurch entstehen zueinander äquivalente Terme. (3x + 7) · (4x – 5) = 12x2 + 28x – 15x – 35 = 12x2 + 13x – 35 Umformen von Termen • Ausmultiplizieren mit einem Faktor: Jeder Summand wird mit dem Faktor multipliziert. • Ausmultiplizieren zweier Summen: Jeder Summand der ersten Summe wird mit jedem Summand der zweiten Summe multipliziert. • Ausklammern: Ein gemeinsamer Faktor in jedem Summand wird ausgeklammert. Multiplikation Kehrbruch 209Kreuz und quer 31 1 0 2 3 4 1 2 3 4 210 3 x 0 y y 210 43 x Lineare Zuordnungen 1 Betrachte die Graphen von linearen Zuordnungen. 1 2 a) Lies die Funktionsgleichung ab. b) Welcher y-Wert gehört jeweils zu x = 2? c) Welcher x-Wert gehört jeweils zu y = 3? 2 Drei Gefäße werden gleichmäßig mit Wasser gefüllt, die Graphen stellen die Wasserhöhe in Abhängigkeit der Zeit dar. a) Welcher Graph gehört zu welchem Gefäß? Begründe deine Antwort. b) Zeichne den Füllgraph zu folgendem Gefäß: 3 Beschreibe die Situationen jeweils mithilfe einer linearen Zuordnung. Gib auch eine Rechenvorschrift an. a) Bei einer Schulfeier zahlt Tanja 1,50 f Eintritt und für jedes Getränk 50 ct. b) Pro Monat zahlt Konrad 9,99 f Handygebühren. Prozentrechnung 4 Gib für folgende Situationen jeweils den Grundwert, den Prozentsatz und den Prozentwert an. a) Bei einer Schülerbefragung gaben 30 % der 230 Jungen Cola als ihr Lieblingsgetränk an. b) Bei der letzten Wahl ist die Anzahl der Wähler wieder um 200 000 zurückgegangen. Das ist ein Rückgang um 2,5 % gegenüber den Wählern der vorherigen Wahl. 5 Korrigiere die Hausaufgaben von Nathalie. a) Der Preis für eine Tasche wird von 50 f um 23 % erhöht. Wie hoch ist der neue Preis? P = 50 · 23 ___ 100 = 11,50 Der neue Preis beträgt 11,50 f. b) Tom kommt an 8 % der Schultage zu spät. Wie viele Tage sind das bei 150 Schultagen? P = 8 · 100 ___ 150 5,33 Er kommt an rund 5 Tagen zu spät. 6 Ergänze im Heft die fehlenden Größen in der Tabelle. 7 Gib an, ob es sich bei den Preisangaben jeweils um den Grundwert, den Prozentwert oder den verminderten bzw. vermehrten Grundwert handelt. a) Eine DVD wurde von ursprünglich 19,99 f auf 12,50 f reduziert. b) Die Stromkosten für einen Durchschnittshaushalt sind im letzten Jahr um etwa 50 f gestiegen und betragen nun pro Jahr ca. 840 f. c) Nach mehreren Rabattaktionen kostet eine Jeans nur noch 29,99 f, der Preis wurde insgesamt um 15 f gesenkt. 8 Ein Telefon, das 300 f kostet, wird mit 10 % Rabatt angeboten. Eine Woche später wird der ermäßigte Preis wieder um 10 % angehoben. Wie teuer ist das Telefon jetzt? a) b) c) alter Wert 35 m 55 kg Änderung + 20 % + 10 % neuer Wert 77 m 33 kg A y x 0 0 CB 1 32 0 0 0 0 y x y x Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch fi t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches fi ndet ihr das Grundwissen. Nu r z u Pr üf zw e ke n Ei g tu m d es C .C .B uc er V rla gs