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Die Themenseite enthält oftmals anspruchsvolle Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathematischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil ﬁ ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch; die Lösungen dazu ﬁ ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind Grundaufgaben des Kapitels, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle im dritten Teil könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr ﬁ ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. y x ` _ g 1 g 2 T 2 (0 | t 2 ) T 1 (0 | t 1 ) 1 1 1 LE co s ` (s in _ ) · c os ` F D A E B sin ` _ (sin _) · sin ` _– ` ` C _ _ _ 1 LE ` F C D A E B 331.10 Themenseite: Rund um Sinus & Co.32 Additionstheoreme Die Formeln, die es ermöglichen, aus den Sinusund Kosinuswerten zweier Winkel _ und ` die Sinusund Kosinuswerte der Winkel _ + ` bzw. _ – ` zu ermitteln, nennt man Additionstheoreme. Herleitung von (sin _ + `) und cos (_ + `) Betrachte die Abbildung nebenan. Die Dreiecke ABC und ACD sind rechtwinklig mit 0° _ + ` 90°. Zeichnet man das Lot vom Punkt D auf AB (Lotfußpunkt E) und das Lot vom Punkt C auf DE (Lotfußpunkt F), so erhält man weitere rechtwinklige Dreiecke. Dabei enthalten die Dreiecke ABC und DFC den Winkel _; das Dreieck ACD enthält den Winkel ` und das Dreieck AED den Winkel (_ + `). Das Viereck EBCF ist dabei ein Rechteck. Mehrfaches Winkelmaß Betrachte die Additionstheoreme nebenan. a) Bestimme sin (2_) und cos (2_), indem du in die Additionstheoreme _ = ` einsetzt. b) Zeige, dass für 0° _ 30° stets gilt: sin (3_)= 3 sin _– 4 (sin _)3 c) Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist 8 cm, die Basishöhe 3 cm lang. Finde, ohne die Größe der Basiswinkel zu ermitteln, heraus, wie sich der Flächeninhalt (der Umfang) des Dreiecks ändert, wenn jeder der beiden Basis winkel verdoppelt wird, die Länge der Basis aber unverändert bleibt. Übernimm die Skizze ins Heft und trage zunächst die Maße ein. d) Zeige, dass für 0° _ 45° stets gilt tan (2_) = 2 tan _ ______ __ 1 – (tan _)2 Mehr Tangens a) Zeige mithilfe der Additionstheoreme, dass für 0° ` _ 90° stets gilt: tan (_ – `) = tan _ – tan ` ____ _______ 1 + tan _ · tan ` b) Erläutere anhand der Zeichnung, dass für den spitzen Winkel , unter dem die Geraden g1: y = m1x + t1 und g2: y = m2x + t2 einander schneiden, für m1 m2 0 stets gilt: tan = m1 – m2 _________ 1 + m1 · m2 c) Ermittle jeweils die Größe des spitzen Winkels zwischen den Geraden g1 und g2. Nutze das Ergebnis aus b). 1 g1: y = 3x + 1 g 2: y = x + 5 2 g1: 4x – y = 8 g2: y = 0,6x + 8 3 g1: 10x – y = 25 g2: 9x – 11y = 0 Betrachte das Dreieck ACD: cos ` = __ AC __ 1 = __ AC sin ` = __ CD __ 1 = __ CD Betrachte nun das Dreieck ABC: sin _ = __ BC __ __ AC = __ BC ___ cos ` __ BC = sin _ · cos ` Betrachte das Dreieck DFC: cos _ = __ FD __ __ CD = __ FD ___ sin ` __ FD = cos _ · sin ` Betrachte das Dreieck AED: sin (_ + `) = __ ED ___ __ AD = __ EF + __ FD ______1 = __ BC + __ FD Es folgt: sin (_ + `) = sin _· cos ` + cos _· sin ` Betrachte das Dreieck ABC: cos _ = __ AB __ __ AC = __ AB ___ cos ` __ AB = cos _ · cos ` Betrachte das Dreieck DFC: sin _ = __ FC __ __ CD = __ FC ___ sin ` __ FC = sin _ · sin ` Betrachte das Dreieck AED: cos (_ + `) = __ AE ___ __ AD = ___ AB – __ EB ______1 = __ AB – __ FC Es folgt: cos (_ + `) = cos _ · cos ` – sin _ · sin ` a) Erkläre die Herleitungsschritte mit eigenen Worten. b) Bestimme sin 60° (sin 75°) mithilfe von sin 30°, cos 30°, sin 45° und cos 45°. c) Wende die Additionstheoreme an und überprüfe die Richtigkeit mit dem Taschenrechner. 1 sin (45° + 30°) 2 cos (180° + 45°) 3 sin (15° + 15°) 4 cos (180° – 60°) d) Übertrage zunächst die nebenstehende Zeichnung in dein Heft. Begründe dann mithilfe dieser Zeichnung, dass für 0° ` _ 90° stets gilt: sin (_ – `) = sin _ · cos ` – cos _ · sin ` cos (_ – `) = cos _ · cos ` + sin _ · sin ` e) Berechne für sin _ = 5 ___ 13 und cos ` = 12 ___ 13 ohne Berechnung der Winkelmaße folgende Werte: 1 sin (_ + `) 2 cos (_ + `) 3 sin (_ – `) 4 cos (_ – `) a = 5,1 cm s = 8,5 cm 88° 4,2 cm 6,1 cm 9,3 cm 7 cm 57°A A B B C C A A B B C C 6,2 cm 8,7 cm 43° 76° 109° 38° A A B B C C 124 dm 13,8 cm 30,1 cm _ _ ` ` 5 m 34 35 5 Bestimme im rechtwinkligen Dreieck ABC (a = 90°) den gesuchten Winkel mithilfe … 1 der Innenwinkelsumme im Dreieck. 2 der Zusammenhänge von Sinus und Kosinus. a) sin 17° = cos ` b) sin _ = cos 36° c) sin 56° = cos ` d) sin 72° = cos ` e) sin _ = cos 42° f) sin _ = cos 58° 6 Welche der Dreiecke ABC sind (im Rahmen der Messgenauigkeit) rechtwinklig? Gib den rechten Winkel an. a) a = 1,7 m; c = 2,0 m; ` = 45° b) a = 5 cm; b = 4 cm; a = 37° 7 Berechne den Steigungswinkel (d. h. Winkel des Anstiegs) der zugehörigen Gerade. a) y = 3,8x b) y = –5,5x + 3 8 Konstruiere das rechtwinklige Dreieck ABC. Überprüfe die Konstruktion durch eine Rechnung. a) a = 3,4 cm; b = 4,8 cm; ` = 55° b) a = 6,9 cm; ` = 42°; a = 48° c) a = 7,2 cm; c = 5,4 cm; _ = 90° d) c = 5,5 cm; a = 8,8 cm; _ = 58° 9 a) Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 6,2 cm, _= 35° und c = 8,4 cm. b) Berechne die Länge der Seite a und überprüfe zeichnerisch. 10 Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Höhe von 8,9 cm. Bestimme die Seitenlängen. 11 Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat folgende Maße: a = c = 6,5 cm und b = 7,8 cm. a) Bestimme alle drei Winkelgrößen und die Höhe des Dreiecks auf die Basis. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten. 12 Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße für das Dreieck ABC. a) c = 8,5 dm; ` = 32°; a = 87° b) c = 67 cm; _ = 103°; a = 46° c) a = 5,2 cm; ` = 63,1°; a = 95,6° d) a = 7,3 cm; b = 4,7 cm; _ = 65° e) b = 7,8 cm; c = 5,5 cm; a = 33,2° Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten ﬁndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Das Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei a. Berechne sin _ und cos _ für folgende Seitenlängen. Runde gegebenenfalls auf zwei Dezimalen. a) a = 5,6 cm; b = 9,0 cm; c = 10,6 cm b) a = 0,49 km; b = 1,68 km; c = 1,75 km 2 Berechne die fehlenden Seitenlängen für folgende rechtwinklige Dreiecke ABC. Runde auf eine Stelle nach dem Komma. a) ` = 90°; a = 48°; b = 8,8 cm b) _ = 17°; ` = 73°; a = 124,8 m c) _ = 57°; a = 90°; a = 1,3 km d) _ = 90°; ` = 42°; a = 78,5 mm 3 Gib in den rechtwinkligen Dreiecken jeweils das Längenverhältnis für tan _ und tan ` an. a) b) 4 In einem Dreieck ABC ist a = 90°. Berechne mit dem Taschenrechner die Winkel _ und `. Runde auf eine Dezimale. a) tan _ = 0,21 b) tan _ = 5 c) sin _ = 0,25 d) sin _ = 0,6 e) sin _ = 0,32 f) sin ` = 0,46 g) tan ` = 2,5 h) cos ` = 0,7 i) tan ` = 1 . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 13 Berechne die fehlenden Werte der Größen a, b, c, _ ` und a des Dreiecks ABC. a) b) c) d) 14 Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide. 15 Vom Dreieck ABC sind die Seiten b = 6,3 cm und c = 9,4 cm sowie die Größe des Winkels _ = 71° bekannt. Berechne die Länge von a mithilfe des Kosinussatzes. 16 Bestimme jeweils die fehlenden Werte in der Tabelle für ein Dreieck ABC. Runde auf eine Dezimale. 17 Bestimme den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 8,8 cm. 18 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. a) a = 2,5 cm b = 6,9 cm a = 32° b) a = 55 mm c = 29 mm ` = 123,8 ° c) a = 5 cm b = 7 cm ` = 40° 1.11 Das kann ich! Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 4, 5, 19 mit Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck Winkel und Streckenlängen berechnen. S. 6 3, 4, 20, 21 mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck Winkel und Streckenlängen berechnen. S. 8 6, 7, 8, 14 Problemstellungen zu rechtwinkligen Dreiecken mit Sinus, Kosinus und Tangens lösen. S. 10 10, 11 Berechnungen an besonderen Dreiecken durchführen. S. 16 12, 13 den Sinussatz für beliebige Dreiecke anwenden. S. 18 9, 15, 16, 23, 24 den Kosinussatz für beliebige Dreiecke anwenden. S. 22 17, 18, 22, 25 Flächeninhalte beliebiger Dreiecke berechnen. S. 26 Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 19 Der Sinus eines Winkels bezeichnet das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. 20 Der Wert des Sinus eines Winkels geteilt durch den Wert des Kosinus dieses Winkels ergibt den zugehörigen Wert des Tangens dieses Winkels. 21 Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels sind immer kleiner als 1. 22 Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ABC benötigt man nur drei der Werte für a, b, c, _, ` oder a. 23 Der Kosinussatz gilt nicht für gleichseitige Dreiecke. 24 Der Kosinussatz ist ein Sonderfall des Satzes von Pythagoras. 25 Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man mithilfe zweier Seitenlängen und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels berechnen. a) b) c) a 6,4 m 4,6 cm b 6,7 cm 5,8 m 7,0 cm c 5,9 cm 10,5 m _ 63,5° ` a 123,0° S. 6 S. 8 In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Sinus des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Hypotenuse hier: sin _ = a __ c ; sin ` = b __ c Kosinus des Winkels = Ankathete des Winkels _________________ Hypotenuse hier: cos _ = b __ c ; cos ` = a __ c Tangens des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Ankathete des Winkels hier: tan _ = a __ b ; tan ` = b __ a S. 10 Festlegung: SINCOS SINCOS TAN Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit aGILT SIN_COS¯_) COS_SIN¯_) TAN_ = sin _ ___ _ cos _ S. 16 Die Berechnung von Streckenlängen und Winkelgrößen in gleichschenkligen Dreiecken kann man auf die Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken zurückführen. Dazu zerlegt man das gleichschenklige Dreieck durch eine geeignete Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke. S. 18 Sinussatz In einem Dreieck ABC gilt: a ____ sin _ = b ____ sin ` = c ____ sin a Es gilt für stumpfe Winkel _ _ sin _SIN¯_) S. 22 Kosinussatz In einem Dreieck ABC gilt: a2 = b2 + c2¯BCÀCOS_ b2 = a2 + c2¯ACÀCOS` c2 = a2 + b2¯ABÀCOSa S. 26 Beispiel: 6ABC mit a = 42 mm, b = 26 mm und a A = __ 2 AÀBÀSINa ADreieck = __ 2 ÀMMÀMMÀSIN ADreieck MM 2 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC A = __ 2 BÀCÀSIN_ = __ 2 AÀCÀSIN` = __ 2 AÀBÀSINa A B C c b a _ ` h c a b a A c B C _ ` a A b _ ` a c Hypotenuse Gegenkathete von _Ankathete von _ Gegenkathete von ` Ankathete von ` B C A _ ` _= ` Basis Sc he nk el Schenkel B C a 36 1.12 Auf einen Blick Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen 1 ___ 12 + 4 __ 9 = 3 ___ 36 + 16 ___ 36 = 3 + 16 _____ 36 = 19 ___ 36 Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren (Subtrahieren) erst auf denselben (Haupt-)Nenner erweitert bzw. gekürzt. Anschließend wird der Zähler addiert (subtrahiert), der gemeinsame Nenner bleibt erhalten. 4 __ 7 · 2 __ 9 = 4 · 2 ____7 · 9 = 8 ___ 63 Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multi pliziert. 3 __ 4 : 2 __ 3 = 3 __ 4 · 3 __ 2 = 3 · 3 ____4 · 2 = 9 __ 8 Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Beim Kehrbruch werden Zähler und Nenner des Bruchs vertauscht. Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Eine lineare Funktion liegt vor, wenn alle Wertepaare auf einer Gerade liegen. Der Graph einer linearen Funktion ist gegenüber dem einer proportionalen Funktion um einen festen Wert n entlang der y-Achse verschoben. Es gilt folgende Funktionsgleichung: y = Anstieg m · x + fester Wert n y = m · x + n Der Graph der proportionalen Funktion mit y = m · x als Sonderfall einer linearen Funktion verläuft durch den Ursprung. Ein rechtwinkliges Dreieck, das den Anstieg beschreibt, heißt Steigungsdreieck. Eigenschaften von Funktionen $IE3CHNITTSTELLEEINES&UNKTIONSGRAPHENMITDER x-Achse (y = 0) bezeichnet man als Null stelle x0 der Funktion. $ERDeﬁnitionsbereich gibt an, welche x-Werte (Argumente) in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. $ERWertebereich gibt an, welche y-Werte (Funktionswerte) vorkommen können. $IEMonotonie gibt an, wie der Graph gegenüber der x-Achse verläuft: Der Graph verläuft von … „links unten nach rechts oben“: monoton steigend. „links oben nach rechts unten“: monoton fallend. y n x line are Fun ktio n pro por tion ale Fun ktio n + n + n + n + n 11 m 1 y x 2 –1 –1 2 y = 1,5x xx 0 y monoton steigend monoton fallend Multiplikation Kehrbruch 122Kreuz und quer 37 Terme 1 Entscheide, für welche rationalen Zahlen der Term deﬁ niert ist. a) 5 _____ 2 – x b) 4 ____ 7 + x c) 5x _____ (x + 1) d) x _____ x2 + 1 2 Gegeben ist der Term a 2 ______ (a + 1)2 . a) Bestimme den Wert des Terms für a = 2. b) Der Term hat den Wert 25 ___ 36 . Berechne a. c) Begründe, dass der Term nie den Wert – 1 __ 4 annehmen kann. 3 Ordne die Dominosteine so, dass gleichwertige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich ein Lösungswort. Wie lautet es? T y–1 · x2 2x · y R x __ y · y3 __ x Ende H xy + xy y __ x L Start x 2 · y U x · y · x x 2 __ y E xy · x –2 xy2 : x 4 Die Gleichung y = a · x ____ b + c wurde umgeformt. Erkläre, welche Umformungen richtig sind. 1 a = y · (b + c) _______x 2 x = y __ a · b + c 3 b = y ____ a · x – c 4 c = a · x ____ y – b 5 Löse die Klammern auf und vereinfache so weit wie möglich. a) 2 – (–5 + a) · (c + d) b) (x – y) · (y + x2) c) –5c – (4c – 9) d) (t – s)2 – (s + t)2 e) –(3x2 – 7x) + (5x – 8x2 + 4) 6 Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 8 cm. Verkürzt man die längere Seite um 5 cm, so ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks um 25 cm2 kleiner als der des ursprünglichen Rechtecks. Bestimme die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. Ähnlichkeit 7 Falte ein quadratisches Blatt Papier wie in der Abbildung. a) Markiere zwei Dreiecke, die zueinander ähnlich, aber nicht kongruent sind. b) Färbe in den markierten Figuren aus a) gleiche Winkel in derselben Farbe. c) Begründe die Gleichheit der Winkel. 8 Von der quadratischen Pyramide am Louvre in Paris soll ein Modell aus Holz im Maßstab 1 : 150 gebaut werden. a) Gib die Seitenlängen des Modells an. b) Für die Mantelﬂ äche im Modell wird eine Größe von 1026 cm2 ermittelt. Wie groß ist die Glasoberﬂ äche der Originalpyramide? c) Die Originalpyramide hat ein Innenvolumen von rund 8900 m3. Bestätige diesen Wert. Wie schwer ist das Modell, wenn 1 cm3 Holz 0,5 g wiegt? 9 Bestimme die Maße der markierten Teile (g || h). a) b) c) d) 12 cm 10,5 cm 10,5 cm 12,6 cm 8,0 cm 2 cm 4 cm 6 cm x x x y h g g h g hy y 4 cm 3 cm 3 cm _ 5 cm 2 cm 4,6 cm x g h 80° 33 m 35 m Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch ﬁ t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches ﬁ ndet ihr das Grundwissen. Nu r z u Pr üf zw ec ke n ig nt um d es C .C . uc h r V er la gs

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Die Themenseite enthält oftmals anspruchsvolle Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathematischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil ﬁ ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch; die Lösungen dazu ﬁ ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind Grundaufgaben des Kapitels, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle im dritten Teil könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr ﬁ ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. y x ` _ g 1 g 2 T 2 (0 \| t 2 ) T 1 (0 \| t 1 ) 1 1 1 LE co s ` (s in _ ) · c os ` F D A E B sin ` _ (sin _) · sin ` _– ` ` C _ _ _ 1 LE ` F C D A E B 331.10 Themenseite: Rund um Sinus & Co.32 Additionstheoreme Die Formeln, die es ermöglichen, aus den Sinusund Kosinuswerten zweier Winkel _ und ` die Sinusund Kosinuswerte der Winkel _ + ` bzw. _ – ` zu ermitteln, nennt man Additionstheoreme. Herleitung von (sin _ + `) und cos (_ + `) Betrachte die Abbildung nebenan. Die Dreiecke ABC und ACD sind rechtwinklig mit 0° _ + ` 90°. Zeichnet man das Lot vom Punkt D auf AB (Lotfußpunkt E) und das Lot vom Punkt C auf DE (Lotfußpunkt F), so erhält man weitere rechtwinklige Dreiecke. Dabei enthalten die Dreiecke ABC und DFC den Winkel _; das Dreieck ACD enthält den Winkel ` und das Dreieck AED den Winkel (_ + `). Das Viereck EBCF ist dabei ein Rechteck. Mehrfaches Winkelmaß Betrachte die Additionstheoreme nebenan. a) Bestimme sin (2_) und cos (2_), indem du in die Additionstheoreme _ = ` einsetzt. b) Zeige, dass für 0° _ 30° stets gilt: sin (3_)= 3 sin _– 4 (sin _)3 c) Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist 8 cm, die Basishöhe 3 cm lang. Finde, ohne die Größe der Basiswinkel zu ermitteln, heraus, wie sich der Flächeninhalt (der Umfang) des Dreiecks ändert, wenn jeder der beiden Basis winkel verdoppelt wird, die Länge der Basis aber unverändert bleibt. Übernimm die Skizze ins Heft und trage zunächst die Maße ein. d) Zeige, dass für 0° _ 45° stets gilt tan (2_) = 2 tan _ ______ __ 1 – (tan _)2 Mehr Tangens a) Zeige mithilfe der Additionstheoreme, dass für 0° ` _ 90° stets gilt: tan (_ – `) = tan _ – tan ` ____ _______ 1 + tan _ · tan ` b) Erläutere anhand der Zeichnung, dass für den spitzen Winkel , unter dem die Geraden g1: y = m1x + t1 und g2: y = m2x + t2 einander schneiden, für m1 m2 0 stets gilt: tan = m1 – m2 _________ 1 + m1 · m2 c) Ermittle jeweils die Größe des spitzen Winkels zwischen den Geraden g1 und g2. Nutze das Ergebnis aus b). 1 g1: y = 3x + 1 g 2: y = x + 5 2 g1: 4x – y = 8 g2: y = 0,6x + 8 3 g1: 10x – y = 25 g2: 9x – 11y = 0 Betrachte das Dreieck ACD: cos ` = __ AC __ 1 = __ AC sin ` = __ CD __ 1 = __ CD Betrachte nun das Dreieck ABC: sin _ = __ BC __ __ AC = __ BC ___ cos ` __ BC = sin _ · cos ` Betrachte das Dreieck DFC: cos _ = __ FD __ __ CD = __ FD ___ sin ` __ FD = cos _ · sin ` Betrachte das Dreieck AED: sin (_ + `) = __ ED ___ __ AD = __ EF + __ FD ______1 = __ BC + __ FD Es folgt: sin (_ + `) = sin _· cos ` + cos _· sin ` Betrachte das Dreieck ABC: cos _ = __ AB __ __ AC = __ AB ___ cos ` __ AB = cos _ · cos ` Betrachte das Dreieck DFC: sin _ = __ FC __ __ CD = __ FC ___ sin ` __ FC = sin _ · sin ` Betrachte das Dreieck AED: cos (_ + `) = __ AE ___ __ AD = ___ AB – __ EB ______1 = __ AB – __ FC Es folgt: cos (_ + `) = cos _ · cos ` – sin _ · sin ` a) Erkläre die Herleitungsschritte mit eigenen Worten. b) Bestimme sin 60° (sin 75°) mithilfe von sin 30°, cos 30°, sin 45° und cos 45°. c) Wende die Additionstheoreme an und überprüfe die Richtigkeit mit dem Taschenrechner. 1 sin (45° + 30°) 2 cos (180° + 45°) 3 sin (15° + 15°) 4 cos (180° – 60°) d) Übertrage zunächst die nebenstehende Zeichnung in dein Heft. Begründe dann mithilfe dieser Zeichnung, dass für 0° ` _ 90° stets gilt: sin (_ – `) = sin _ · cos ` – cos _ · sin ` cos (_ – `) = cos _ · cos ` + sin _ · sin ` e) Berechne für sin _ = 5 ___ 13 und cos ` = 12 ___ 13 ohne Berechnung der Winkelmaße folgende Werte: 1 sin (_ + `) 2 cos (_ + `) 3 sin (_ – `) 4 cos (_ – `) a = 5,1 cm s = 8,5 cm 88° 4,2 cm 6,1 cm 9,3 cm 7 cm 57°A A B B C C A A B B C C 6,2 cm 8,7 cm 43° 76° 109° 38° A A B B C C 124 dm 13,8 cm 30,1 cm _ _ ` ` 5 m 34 35 5 Bestimme im rechtwinkligen Dreieck ABC (a = 90°) den gesuchten Winkel mithilfe … 1 der Innenwinkelsumme im Dreieck. 2 der Zusammenhänge von Sinus und Kosinus. a) sin 17° = cos ` b) sin _ = cos 36° c) sin 56° = cos ` d) sin 72° = cos ` e) sin _ = cos 42° f) sin _ = cos 58° 6 Welche der Dreiecke ABC sind (im Rahmen der Messgenauigkeit) rechtwinklig? Gib den rechten Winkel an. a) a = 1,7 m; c = 2,0 m; ` = 45° b) a = 5 cm; b = 4 cm; a = 37° 7 Berechne den Steigungswinkel (d. h. Winkel des Anstiegs) der zugehörigen Gerade. a) y = 3,8x b) y = –5,5x + 3 8 Konstruiere das rechtwinklige Dreieck ABC. Überprüfe die Konstruktion durch eine Rechnung. a) a = 3,4 cm; b = 4,8 cm; ` = 55° b) a = 6,9 cm; ` = 42°; a = 48° c) a = 7,2 cm; c = 5,4 cm; _ = 90° d) c = 5,5 cm; a = 8,8 cm; _ = 58° 9 a) Konstruiere das Dreieck ABC mit b = 6,2 cm, _= 35° und c = 8,4 cm. b) Berechne die Länge der Seite a und überprüfe zeichnerisch. 10 Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Höhe von 8,9 cm. Bestimme die Seitenlängen. 11 Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat folgende Maße: a = c = 6,5 cm und b = 7,8 cm. a) Bestimme alle drei Winkelgrößen und die Höhe des Dreiecks auf die Basis. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten. 12 Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße für das Dreieck ABC. a) c = 8,5 dm; ` = 32°; a = 87° b) c = 67 cm; _ = 103°; a = 46° c) a = 5,2 cm; ` = 63,1°; a = 95,6° d) a = 7,3 cm; b = 4,7 cm; _ = 65° e) b = 7,8 cm; c = 5,5 cm; a = 33,2° Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten ﬁndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Das Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei a. Berechne sin _ und cos _ für folgende Seitenlängen. Runde gegebenenfalls auf zwei Dezimalen. a) a = 5,6 cm; b = 9,0 cm; c = 10,6 cm b) a = 0,49 km; b = 1,68 km; c = 1,75 km 2 Berechne die fehlenden Seitenlängen für folgende rechtwinklige Dreiecke ABC. Runde auf eine Stelle nach dem Komma. a) ` = 90°; a = 48°; b = 8,8 cm b) _ = 17°; ` = 73°; a = 124,8 m c) _ = 57°; a = 90°; a = 1,3 km d) _ = 90°; ` = 42°; a = 78,5 mm 3 Gib in den rechtwinkligen Dreiecken jeweils das Längenverhältnis für tan _ und tan ` an. a) b) 4 In einem Dreieck ABC ist a = 90°. Berechne mit dem Taschenrechner die Winkel _ und `. Runde auf eine Dezimale. a) tan _ = 0,21 b) tan _ = 5 c) sin _ = 0,25 d) sin _ = 0,6 e) sin _ = 0,32 f) sin ` = 0,46 g) tan ` = 2,5 h) cos ` = 0,7 i) tan ` = 1 . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 13 Berechne die fehlenden Werte der Größen a, b, c, _ ` und a des Dreiecks ABC. a) b) c) d) 14 Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide. 15 Vom Dreieck ABC sind die Seiten b = 6,3 cm und c = 9,4 cm sowie die Größe des Winkels _ = 71° bekannt. Berechne die Länge von a mithilfe des Kosinussatzes. 16 Bestimme jeweils die fehlenden Werte in der Tabelle für ein Dreieck ABC. Runde auf eine Dezimale. 17 Bestimme den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 8,8 cm. 18 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. a) a = 2,5 cm b = 6,9 cm a = 32° b) a = 55 mm c = 29 mm ` = 123,8 ° c) a = 5 cm b = 7 cm ` = 40° 1.11 Das kann ich! Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 4, 5, 19 mit Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck Winkel und Streckenlängen berechnen. S. 6 3, 4, 20, 21 mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck Winkel und Streckenlängen berechnen. S. 8 6, 7, 8, 14 Problemstellungen zu rechtwinkligen Dreiecken mit Sinus, Kosinus und Tangens lösen. S. 10 10, 11 Berechnungen an besonderen Dreiecken durchführen. S. 16 12, 13 den Sinussatz für beliebige Dreiecke anwenden. S. 18 9, 15, 16, 23, 24 den Kosinussatz für beliebige Dreiecke anwenden. S. 22 17, 18, 22, 25 Flächeninhalte beliebiger Dreiecke berechnen. S. 26 Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 19 Der Sinus eines Winkels bezeichnet das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. 20 Der Wert des Sinus eines Winkels geteilt durch den Wert des Kosinus dieses Winkels ergibt den zugehörigen Wert des Tangens dieses Winkels. 21 Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels sind immer kleiner als 1. 22 Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ABC benötigt man nur drei der Werte für a, b, c, _, ` oder a. 23 Der Kosinussatz gilt nicht für gleichseitige Dreiecke. 24 Der Kosinussatz ist ein Sonderfall des Satzes von Pythagoras. 25 Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man mithilfe zweier Seitenlängen und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels berechnen. a) b) c) a 6,4 m 4,6 cm b 6,7 cm 5,8 m 7,0 cm c 5,9 cm 10,5 m _ 63,5° ` a 123,0° S. 6 S. 8 In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Sinus des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Hypotenuse hier: sin _ = a __ c ; sin ` = b __ c Kosinus des Winkels = Ankathete des Winkels _________________ Hypotenuse hier: cos _ = b __ c ; cos ` = a __ c Tangens des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Ankathete des Winkels hier: tan _ = a __ b ; tan ` = b __ a S. 10 Festlegung: SINCOS SINCOS TAN Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit aGILT SIN_COS¯_) COS_SIN¯_) TAN_ = sin _ ___ _ cos _ S. 16 Die Berechnung von Streckenlängen und Winkelgrößen in gleichschenkligen Dreiecken kann man auf die Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken zurückführen. Dazu zerlegt man das gleichschenklige Dreieck durch eine geeignete Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke. S. 18 Sinussatz In einem Dreieck ABC gilt: a ____ sin _ = b ____ sin ` = c ____ sin a Es gilt für stumpfe Winkel _ _ sin _SIN¯_) S. 22 Kosinussatz In einem Dreieck ABC gilt: a2 = b2 + c2¯BCÀCOS_ b2 = a2 + c2¯ACÀCOS` c2 = a2 + b2¯ABÀCOSa S. 26 Beispiel: 6ABC mit a = 42 mm, b = 26 mm und a A = __ 2 AÀBÀSINa ADreieck = __ 2 ÀMMÀMMÀSIN ADreieck MM 2 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC A = __ 2 BÀCÀSIN_ = __ 2 AÀCÀSIN` = __ 2 AÀBÀSINa A B C c b a _ ` h c a b a A c B C _ ` a A b _ ` a c Hypotenuse Gegenkathete von _Ankathete von _ Gegenkathete von ` Ankathete von ` B C A _ ` _= ` Basis Sc he nk el Schenkel B C a 36 1.12 Auf einen Blick Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen 1 ___ 12 + 4 __ 9 = 3 ___ 36 + 16 ___ 36 = 3 + 16 _____ 36 = 19 ___ 36 Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren (Subtrahieren) erst auf denselben (Haupt-)Nenner erweitert bzw. gekürzt. Anschließend wird der Zähler addiert (subtrahiert), der gemeinsame Nenner bleibt erhalten. 4 __ 7 · 2 __ 9 = 4 · 2 ____7 · 9 = 8 ___ 63 Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multi pliziert. 3 __ 4 : 2 __ 3 = 3 __ 4 · 3 __ 2 = 3 · 3 ____4 · 2 = 9 __ 8 Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Beim Kehrbruch werden Zähler und Nenner des Bruchs vertauscht. Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Eine lineare Funktion liegt vor, wenn alle Wertepaare auf einer Gerade liegen. Der Graph einer linearen Funktion ist gegenüber dem einer proportionalen Funktion um einen festen Wert n entlang der y-Achse verschoben. Es gilt folgende Funktionsgleichung: y = Anstieg m · x + fester Wert n y = m · x + n Der Graph der proportionalen Funktion mit y = m · x als Sonderfall einer linearen Funktion verläuft durch den Ursprung. Ein rechtwinkliges Dreieck, das den Anstieg beschreibt, heißt Steigungsdreieck. Eigenschaften von Funktionen $IE3CHNITTSTELLEEINES&UNKTIONSGRAPHENMITDER x-Achse (y = 0) bezeichnet man als Null stelle x0 der Funktion. $ERDeﬁnitionsbereich gibt an, welche x-Werte (Argumente) in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. $ERWertebereich gibt an, welche y-Werte (Funktionswerte) vorkommen können. $IEMonotonie gibt an, wie der Graph gegenüber der x-Achse verläuft: Der Graph verläuft von … „links unten nach rechts oben“: monoton steigend. „links oben nach rechts unten“: monoton fallend. y n x line are Fun ktio n pro por tion ale Fun ktio n + n + n + n + n 11 m 1 y x 2 –1 –1 2 y = 1,5x xx 0 y monoton steigend monoton fallend Multiplikation Kehrbruch 122Kreuz und quer 37 Terme 1 Entscheide, für welche rationalen Zahlen der Term deﬁ niert ist. a) 5 _____ 2 – x b) 4 ____ 7 + x c) 5x _____ (x + 1) d) x _____ x2 + 1 2 Gegeben ist der Term a 2 ______ (a + 1)2 . a) Bestimme den Wert des Terms für a = 2. b) Der Term hat den Wert 25 ___ 36 . Berechne a. c) Begründe, dass der Term nie den Wert – 1 __ 4 annehmen kann. 3 Ordne die Dominosteine so, dass gleichwertige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich ein Lösungswort. Wie lautet es? T y–1 · x2 2x · y R x __ y · y3 __ x Ende H xy + xy y __ x L Start x 2 · y U x · y · x x 2 __ y E xy · x –2 xy2 : x 4 Die Gleichung y = a · x ____ b + c wurde umgeformt. Erkläre, welche Umformungen richtig sind. 1 a = y · (b + c) _______x 2 x = y __ a · b + c 3 b = y ____ a · x – c 4 c = a · x ____ y – b 5 Löse die Klammern auf und vereinfache so weit wie möglich. a) 2 – (–5 + a) · (c + d) b) (x – y) · (y + x2) c) –5c – (4c – 9) d) (t – s)2 – (s + t)2 e) –(3x2 – 7x) + (5x – 8x2 + 4) 6 Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 8 cm. Verkürzt man die längere Seite um 5 cm, so ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks um 25 cm2 kleiner als der des ursprünglichen Rechtecks. Bestimme die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. Ähnlichkeit 7 Falte ein quadratisches Blatt Papier wie in der Abbildung. a) Markiere zwei Dreiecke, die zueinander ähnlich, aber nicht kongruent sind. b) Färbe in den markierten Figuren aus a) gleiche Winkel in derselben Farbe. c) Begründe die Gleichheit der Winkel. 8 Von der quadratischen Pyramide am Louvre in Paris soll ein Modell aus Holz im Maßstab 1 : 150 gebaut werden. a) Gib die Seitenlängen des Modells an. b) Für die Mantelﬂ äche im Modell wird eine Größe von 1026 cm2 ermittelt. Wie groß ist die Glasoberﬂ äche der Originalpyramide? c) Die Originalpyramide hat ein Innenvolumen von rund 8900 m3. Bestätige diesen Wert. Wie schwer ist das Modell, wenn 1 cm3 Holz 0,5 g wiegt? 9 Bestimme die Maße der markierten Teile (g \|\| h). a) b) c) d) 12 cm 10,5 cm 10,5 cm 12,6 cm 8,0 cm 2 cm 4 cm 6 cm x x x y h g g h g hy y 4 cm 3 cm 3 cm _ 5 cm 2 cm 4,6 cm x g h 80° 33 m 35 m Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch ﬁ t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches ﬁ ndet ihr das Grundwissen. Nu r z u Pr üf zw ec ke n ig nt um d es C .C . uc h r V er la gs
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