Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil fi ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch, die Lösungen dazu fi ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind einfach gehalten, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr fi ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. 1.11 Themenseite: Taschenrechner Erkunde den Taschenrechner Es gibt viele verschiedene Taschenrechner für Schule und Beruf. Diese Rechner sind wie kleine Computer mit weit über 100 Funktionen. Im Laufe der nächsten Jahre wird der Taschenrechner dich bei vielen Einsätzen begleiten. Zunächst geht es darum, den Taschenrechner und diejenigen seiner Möglichkeiten kennen zu lernen, mit denen du bereits jetzt rechnen kannst. Die Tasten können sich in der Lage und von der Bezeichnung bei verschiedenen Modellen unterscheiden. Weitere Tastenbezeichnungen sind in den Kästen abgebildet. a) Suche an deinem Taschenrechner die Tasten mit den Grundfunktionen für Rechnungen rund um die Grundrechenarten. Probiere auch die weiteren Funktionen rund um Brüche, Quadratzahlen und Potenzen aus. Mit der zweiten Tastenfunktion kannst du weitere Möglichkeiten aktivieren. b) Bestimme den Wert zunächst ohne, dann mit Taschenrechner. Besprich mit deinem Nachbarn, bei welchen Rechnungen der Einsatz des Taschenrechners sinnvoll ist. 1 51 233 · 789 79 986 + 14 2 999 · 1001 666 777 · 38 · 0 3 8097 – 57 344 988 – 74 865 – 5 837 957 4 2 295 043 : 241 5000 : 50 Wie steht es mit den Rechenregeln? Ein Taschenrechner sollte die Rechenregeln beachten: Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich a) Probiere aus. Rechnet dein Rechner richtig? b) Was passiert, wenn du durch „0“ dividierst? Geburtstagsrechner Lass eine Person, deren Geburtstag du nicht kennst, folgende Rechnung durchführen: (2 · Geburtstag + 3) · 50 + Geburtsmonat + 38 · 8 Die Person teilt dir das Ergebnis mit. Subtrahiere davon 454 und du kannst Geburtstag und Geburtsmonat direkt ablesen. Probiere aus. Kannst du den „Trick“ erklären? Beispiel: 20. März, also 20.03. (2 · 20 + 3) · 50 + 3 + 38 · 8 = 2457 2457 – 454 = 2003 Term richtig falsch 170 – 10 · 5 170 – 50 = 120 160 · 5 = 800 85 + 33 85 + 27 = 112 883 = 681 472 367 – 3 · 52 367 – 3 · 25 = 292 (364 · 5)2 = 3 312 400 (145 – 13) · 10 132 · 10 = 1320 145 – 130 = 15 3 · (45 – 5)2 3 · 402 = 4800 (3 · 45 – 5)2 = 16 900 Ein-/Aus-Schalter Löschen der Eingabe Bisherige Ergebnisse löschen Bruch eingeben Zweite Tastenfunktion n n-1 Potenzen berechnen Quadratzahl berechnen Komma setzen Ergebnis der Rechnung Grundrechenarten Klammern setzen Fingerübungen Orientiere dich auf dem Taschenrechner. Berechne dabei folgende Aufgaben. Runde Ergebnisse geeignet. a) 123 + 321 789 · 987 951 – 159 b) 963 – 258 147 + 862 7410 : 825 c) 1,23 : 6,54 8,25 – 6,45 0,001 · 987 654 321 d) 62,48 : 75,3 751,359 · 5,4 9,7 : 8,064 32 33 Geheime Botschaften Mit etwas Fantasie kannst du mit dem Taschenrechner auch Wörter schreiben. a) Berechne 1494 + 5897. Drehe den Taschenrechner „auf den Kopf“. 1 Welches Tier kannst du ablesen? 2 Gib ein Produkt aus Faktoren größer 1 ein, das zu demselben Ergebnis führt. b) Denke dir Aufgaben mit lauter mehrstelligen Zahlen aus, deren Ergebnis „auf den Kopf gestellt“ das Wort ( , ) ist. c) Berechne 26 663 486 + 6 · 873 922. Das Ergebnis ergibt „auf dem Kopf“ ein Unterrichtsfach. d) Erfi nde eigene Wörter mit dem Taschenrechner und verpacke sie in eine Aufgabe. Stelle die Aufgabe in der Klasse vor. Seltsame Zahlen Berechne mit dem Taschenrechner: 123 456 789 · 987 654 321 Doch was ist das? Dein Ergebnis kann wie folgt aussehen: Wenn das Ergebnis zu groß ist für die Anzeige des Taschenrechners, dann wird die Zahl auf die letzte Anzeigestelle gerundet und als Zehnerpotenz ausgegeben. Die Anzeige bedeutet: 1,219326311 · 1017 Das Ergebnis muss also multipliziert werden mit 1017 = 100 000 000 000 000 000, d. h. das Komma verschiebt sich um 17 Stellen nach rechts: 1,219326311 · 1017 = 121 932 631 100 000 000 a) Finde heraus, wie die Zahl heißt. b) Berechne und schreibe das Ergebnis mit und ohne Zehnerpotenz. 1 1210 712 259 456 1232 2 8 529 637 410 · 147 258 369 111 222 333 · 999 888 777 3 10 000 000 · 1 000 000 10002 · 1004 c) Erfi nde selbst Aufgaben, deren Ergebnis in der Anzeige als Zehnerpotenz dargestellt wird. 5 gleiche Faktoren Potenz 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 Nützliche Funktionen a) Produkte aus lauter gleichen Faktoren kann man als Potenz schreiben. Die Zahl 2 ist in diesem Fall die Basis, 5 der Exponent. 1 Beschreibe den Unterschied zwischen 25 und 5 · 2. 2 Auch Potenzen lassen sich mit dem Taschenrechner berechnen. Beispiel: 9 xy 6 g 96 Berechne: 54 (–12)8 187 013 (–24)1 (–13)3 3 Probiere mit dem Taschenrechner aus, für welche Zahl b gilt: 2b = 8 589 934 592 b) Auch Brüche lassen sich eingeben. Beispiele: 2 3 g 2 __ 3 4 1 5 g 4 1 __ 5 Berechne: 2 __ 3 + 5 __ 6 6 2 __ 7 · 3 7 __ 8 3 1 ___ 10 : 9 3 __ 5 Das kann ich! 35 11 Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? Überlege ohne Rechnung. a) (–23,1) · 12,7 · (–4,3) · (–2,9) · (+3,7) · (–9,1) b) (–8,7) · ( – 1 __ 2 ) · ( – 4 __ 5 ) · 0,12 · ( – 2 ___ 11 ) · (–1,4) c) (–5)3; (–5)4; (–5)7; (–5)8 12 Übertrage ins Heft und berechne. 13 Berechne. Nutze Rechenvorteile, wenn möglich. a) (–5) · 3,5 + (–5) · 4,5 b) 36,7 + (–12,9) + (–6,7) – 5,1 c) ( 1 __ 4 ) – 1 __ 6 + ( – 7 __ 8 ) + ( – 5 ___ 12 ) d) –22,1 · 98 + 5,6 · (–98) e) ( – 3__4 ) · (–14,7) – ( – 4__3 ) · (–14,7) Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 14 Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl. 15 Jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl. 16 Es gibt keine rationale Zahl, die auch eine natürliche Zahl ist. 17 An der Zahlengerade ist diejenige Zahl größer, die weiter rechts liegt. 18 –37,2 –38,2, denn |–37,2| |–38,2|. 19 Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt stets eine weitere Zahl. 5 Runde auf Hundertstel (Einer). a) –11,487 b) 12,001 c) –254,9451 –87,210 –45,987 –153,909 34,999 –18,888 –9999,919 6 Übertrage ins Heft und setze , oder = ein. a) 0,235 –0,235 b) |–17,14| –17,14 |–12,35| 12,35 –35,78 –35,79 c) +123,21 |–123,20| d) – 15 ___ 3 – 15 ___ 4 |–15,993| |–15,992| | –16 1 __ 2 | | 16 1 __ 3 | 7 Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten. a) –4; +3,5; –17; +22 1 __ 7 ; –4,5; 0; 2,1 b) –33,2; |–33,2|; –33,1; |–33,1|; –33,3; –33 1 __ 3 8 Übertrage in dein Heft und fülle die Tabellen aus. a) b) 9 Markus denkt sich eine Zahl. Er addiert zunächst die Zahl –56 hinzu und subtrahiert vom Ergebnis anschließend die Zahl –44. Sein Ergebnis ist 100. Welche Zahl hat sich Markus ausgedacht? 10 Übertrage ins Heft und berechne. Überprüfe deine Kenntnisse und Kompetenzen. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten fi ndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Beschreibe die dargestellten Situationen durch negative und positive Zahlen. a) Tauchtiefe: 14,5 m b) Tageswerte: von 3,2 °C über null bis: 4,8 °C unter null c) 8 f pro Monat d) Kaiser Augustus 64 v. Chr. – 14 n. Chr. 2 Lies die markierten Zahlen ab. a) b) 3 Zeichne eine Zahlengerade und markiere die Zahl und ihre Gegenzahl. a) –5,5; 4,0; –1,5; 0; –3,0; +3,5 b) 2,4; –1,9; 2 ___ 10 ; – 8 __ 5 ; –0,8; +1,4; –1,2 4 Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen … a) –8 und –3? b) –27 und +67? c) –11,3 und –6,5? d) –25,3 und +11,8? e) – 6 __ 7 und 4 __ 7 ? f) – 7 __ 9 und 2 __ 9 ? . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 20 Wenn man eine rationale Zahl addiert, dann wird jeweils die Gegenzahl subtrahiert. 21 Man kann jede Subtraktion einer rationalen Zahl in eine Addition mit ihrer Gegenzahl umwandeln. 22 Treffen bei der Subtraktion einer rationalen Zahl zwei Minuszeichen aufeinander, dann kann man einfach eines dieser Zeichen weglassen. 23 Zehn rationale Zahlen werden multipliziert, von denen sieben negativ sind. Dann ist auch das gesamte Produkt negativ. 24 Wird eine Zahl durch einen negativen Bruch dividiert, dann wird diese Zahl mit dem positiven Kehrbruch multipliziert. 25 Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten nur für die Multiplikation und Division rationaler Zahlen. 26 Jeden Term, in dem man ausklammern kann, kann man anschließend wieder aus multiplizieren. 27 Die Division durch eine rationale Zahl kann man durch die Multiplikation mit ihrer Gegenzahl ersetzen. 28 Das Kommutativgesetz besagt, dass man rechnen darf, wie man möchte. 29 Negative Zahlen bedeuten stets Schulden. Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 29 Ganze Zahlen erkennen und interpretieren. S. 8 14, 15, 16 rationale Zahlen erkennen und einordnen. S. 10 3, 4 rationale Zahlen am Zahlenstrahl darstellen und ablesen. S. 10 5 rationale Zahlen runden. S. 14 6, 7, 17, 18, 19 rationale Zahlen ordnen. S. 14 8, 9, 20, 21, 22 rationale Zahlen addieren und subtrahieren. S. 16 10, 11, 23 rationale Zahlen multiplizieren. S. 20 12, 24, 27 rationale Zahlen dividieren. S. 22 13, 25, 26, 28 beim Rechnen mit rationalen Zahlen die Rechengesetze anwenden. S. 24, 26 34 1.12 Das kann ich! + –2,75 +4,3 – 7 ___ 10 –2 1 __ 5 –3,4 9,2 – 2 __ 3 +0,9 – 7,2 –14,8 – 5 __ 8 +12,34 –15,7 –0,9 +4,6 – 9 ___ 10 2,78 · –3,5 +9,8 – 3 __ 5 –17,1 –6,7 +2 3 __ 4 –7,5 +0,25 : –2,1 +5 – 3 __ 4 –3,5 220,5 –294 –15,75 –94,5 –12 3 __ 5 +10–1 A B C D E F +1000–100 A B C D E Die Themenseite enthält nach Anspruchsniveau differenzierte Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathe matischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. S. 8 S. 10 Alle positiven und negativen Zahlen ergeben zusammen mit der Null die Menge der rationalen Zahlen . Die ganzen Zahlen sind in den rationalen Zahlen enthalten. S. 12 Das Koordinatensystem wird durch die Achsen in vier Quadranten unterteilt. Zur Bezeichnung von Punkten gibt die x-Koordinate an, wie weit du dich vom Ursprung entlang der x-Achse bewegst: positive Zahlen nach rechts, negative Zahlen nach links. Die y-Koordinate bestimmt die Position auf der y-Achse: positive Zahlen nach oben, negative nach unten. S. 14 –2,75 – 3 __ 2 1 __ 4 Beim Runden auf einen Stellenwert betrachtet man den nächstkleineren Stellenwert: Bei 0, 1, 2, 3, 4 bleibt die Ziffer des Stellenwerts gleich („abrunden“). Bei 5, 6, 7, 8, 9 wird die Ziffer des Stellenwerts um 1 erhöht („aufrunden“). Eigenschaften rationaler Zahlen: • Rationale Zahlen lassen sich ordnen: Dabei ist von zwei Zahlen diejenige kleiner, die auf der Zahlengerade weiter links liegt. • Zahl und Gegenzahl haben denselben Abstand zur Null, den man als Betrag bezeichnet: |–2,4| = +2,4; |+2,4|= +2,4 • Rationale Zahlen lassen sich nach den bekannten Regeln runden. S. 16 In der Mathematik unterscheidet man zwischen dem Zustand, der durch das Vorzeichen einer Zahl angegeben wird, und der Änderung, die durch das Rechenzeichen markiert wird. Addition zweier rationaler Zahlen Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren. Das Ergebnis hat das gemeinsame Vorzeichen. Verschiedene Vorzeichen: kleineren Betrag vom größeren subtrahieren. Das Ergebnis hat das Vorzeichen des Summanden mit größerem Betrag. Subtraktion einer rationaler Zahlen Ersetzen durch die Addition der Gegenzahl. S. 20 S. 22 Zwei rationale Zahlen werden multipliziert (dividiert), indem man zunächst ihre Beträge verrechnet. Das Ergebnis ist positiv, wenn beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, es ist negativ bei verschiedenen Vorzeichen. S. 24 S. 26 Beispiel: • Bei der alleinigen Addition und Multiplikation können rationale Zahlen beliebig vertauscht (Kommutativgesetz) oder durch Klammern zusammengefasst (Assoziativ gesetz) werden. • Summen (Differenzen), die mit einer rationalen Zahl multipliziert werden, lassen sich ausmultiplizieren bzw. ausklammern (Distributivgesetz). 36 1.13 Auf einen Blick –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 positive Zahlennegative Zahlen –1,25 +1,25–2 3 __ 4 +2 3 __ 4– 1 __ 2 + 1 __ 2 0 +1 x+1 +2 +3 +4 +2 –1 –2 –1–2–3 I. QuadrantII. Quadrant III. Quadrant IV. Quadrant A (1 |1)B (–1,5|0,5) C (–2,5|–1,5) D (2,5 |–1) y –1 0 1–2–3 + geteilt durch + g + + geteilt durch – g – – geteilt durch + g – – geteilt durch – g + + mal + g + + mal – g – – mal + g – – mal – g + (–5,5) (–5,5) (–5,5) · (3,4 + 8,3) = · 3,4 + · 8,3 kurz: +(+ g + –(– g + +(– g – –(+ g – Beispiele: 1 (–1,2) + (–3,1) = –4,3 (–1,2) + (+3,1) = +1,9 2 (–1,2) – (+3,1) = –4,3 (–1,2) – (–3,1) = +1,9 (–30 f) + (–20 f) = –50 f Zustand Änderung Zustand oder kurz: –30 f – 20 f = –50 f (–30 f) – (–20 f) = –10 f Zustand Änderung Zustand oder kurz: –30 f + 20 f = –10 f Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen Schriftliche Multiplikation 1. Multipliziere die Ziffern des 2. Faktors stellenweise mit dem 1. Faktor. Beginne mit der höchsten Stelle. 2. Schreibe alle Teilprodukte stellengerecht unter den 2. Faktor. 3. Addiere zum Schluss alle Teilprodukte. Schriftliche Division 1. Fasse vom Dividenden von links so viele Ziffern zusammen, dass der Divisor in ihr enthalten ist. 2. Notiere im Ergebnis, wie oft der Divisor vollständig in den Teildividenden passt. Schreibe dann das Produkt dieser Zahl mit dem Divisor stellengerecht unter die Teilrechnung. Notiere die Differenz beider Zahlen als Rest. 3. Hänge den nächsten Stellenwert des Dividenden an den Rest an. 4. Wiederhole 2. und 3. so lange, bis kein Stellenwert des Dividenden mehr übrig ist. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 Ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren schreibt man kurz als Potenz. Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponent. Eine Zahl ist Teiler einer anderen Zahl, wenn bei der Division kein Rest bleibt. Man fasst alle Teiler einer Zahl in deren Teilermenge zusammen. Ebenso kann eine Zahl ein Vielfaches einer anderen Zahl sein. Alle Vielfachen einer Zahl werden in ihrer Vielfachenmenge zusammengefasst. 5 | 25, denn die letzte Ziffer ist eine 5. 12 340 ist durch 2, 4, 5, und 10 teilbar, denn die letzte Ziffer ist eine 0 bzw. 40 ist durch 4 teilbar. Eine natürliche Zahl ist teilbar durch … • 2, wenn die Endziffer gerade ist. • 4, wenn ihre letzten beiden Endziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. • 5, wenn die Endziffer eine 0 oder eine 5 ist. • 10, wenn die Endziffer eine 0 ist. Quersumme von 1578: 1 + 5 + 7 + 8 = 21 21 ist durch 3 teilbar, jedoch nicht durch 9. Also gilt: 3 | 1578 9 1578 Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist. 238 240 238 5 200 Große Zahlen werden oftmals gerundet. Beim Runden auf einen Stellenwert betrachtet man den benachbarten kleineren Stellenwert genauer. Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 wird ab gerundet, bei den Ziffern 5, 6, 7, 8, 9 wird auf gerundet. 4 2 6 · 2 5 7 8 5 2 0 0 2 1 3 0 0 2 9 8 2 1 1 1 0 9 4 8 2 27 geht in 63 zweimal, notiere 2 2 · 27 = 54, 63 – 54 Rest 9 27 geht in 97 dreimal notiere 3 3 · 27 = 81, 97 – 81 = 16 Rest 16 27 geht in 162 sechsmal, notiere 6 6 · 27 = 162, 162 – 162 = 0 Rest 0 Basis Exponent T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} V3 = {3; 6; 9; 12; …} Aufrunden (hier auf Zehner) Abrunden (hier auf Hunderter) 221Kreuz und quer 37 Zahlenmauern 7 Übertrage in dein Heft und bestimme die fehlenden Steine. Der Wert eines Steins ergibt sich aus der Summe der beiden darunter liegenden. a) b) 8 a) Vergleiche die Zahlenmauern miteinander und beschreibe deren Aufbau. b) Der mittlere Stein aus a) wird um 1 erhöht. Wie ändert sich das Ergebnis im obersten Stein? Probiere aus. c) Der mittlere Stein aus a) wird um 2 (3, 4, 5, …) erhöht. Wie ändert sich das Ergebnis im oberen Stein? Beschreibe. d) Wie ändert sich das Ergebnis im oberen Stein, wenn ein äußerer Stein in der unteren Lage um 1 (2, 3, 4, 5, …) erhöht wird? Begründe. 9 a) Übertrage und bestimme die fehlenden Steine. Der Wert eines Steins ergibt sich aus dem Produkt der beiden darunter liegenden. b) Wie ändert sich das Ergebnis im oberen Stein, wenn ein äußerer Stein in der unteren Lage verdoppelt wird? c) Wie ändert sich das Ergebnis im oberen Stein, wenn der mittlere Stein in der unteren Lage verdreifacht wird? Teilbarkeit 1 Ein Kartenspiel besteht aus 32 Karten. a) Welche Recktecksmuster lassen sich aus den Karten legen? Zeichne sie auf. b) Bestimme aus den Anordnungen die Teilermenge von 32. c) Betrachte die Vielfachen von 32, 64, 128, 256, 512. Bestimme die Teilermengen dieser Zahlen. Welche Regel erkennst du? Beschreibe. 2 Welche Augensummen sind beim Würfeln mit zwei Würfeln durch 3 (4, 5) teilbar? 3 Bestimme die Teilermengen. a) T15; T12; T27; T18; T16; T24; T36 b) T44; T56; T60; T49; T38; T13; T99 4 Bestimme die Vielfachenmengen. a) V5; V11; V15; V18; V25; V31; V35 b) V47; V77; V83; V99; V101; V121; V142 5 Übertrage die Tabelle ins Heft und überprüfe auf Teilbarkeit. Was fällt dir auf? 6 a) Übertrage den „Teilbarkeitshalbkreis“ in dein Heft und fülle die fehlenden Stellen aus. b) Beginne den „Teilbarkeitshalbkreis“ mit der Zahl 20 160 und fülle ihn aus. c) Welches ist die kleinste Zahl, die du als Startzahl wählen kannst, damit in allen Lücken natürliche Zahlen stehen? Begründe. 126 432 345 720 621 475 2 4 – 5 – 10 3 9 6720 : 2 : 3 : 5 : 7 : : : 27 56 18 14 –1,2 6,4 14,5 32,9 2 5 7 3 12 4 a b c a + b b + c a + 2b + c 2 3 + 1 4 a b + 1 c 2 + 1 3 4 a + 1 b c 4 1 2 5 6 1,2 4,5 10,8 Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch fi t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches fi ndet ihr das Grundwissen. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei g nt um d es C .C .B uc h r V er la gs