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Werkzeug1 Daten und ihre Darstellung mit dem Computer 46 47 Schritt 1: Tabellen erstellen Nach dem Start eines Tabellenprogramms kann eine Tabelle bearbeitet werden. Diese besteht aus Spalten, die mit Buchstaben bezeichnet werden, und Zeilen, die durchnummeriert sind. Durch die Angabe eines Buchstaben und einer Zahl lässt sich jede Zelle, so nennt man ein Kästchen der Tabelle, genau bezeichnen: Man spricht von der „Adresse“ einer Zelle (z. B. B3). Der Inhalt einer Zelle, der in der Befehlszeile erscheint, wird durch eine Eingabe, die ein Text, eine Zahl oder eine Formel sein kann, festgelegt. Menüleisten Markierte Zeile Zelle, die gerade bearbeitet wird Befehlszeile Spalte Zeile a) Erstelle deinen Stundenplan auf einem Tabellenblatt. b) Gestalte deinen Stundenplan, indem du Schriftart, Schriftgröße, Farben und Ausrichtung wählst. Du brauchst dazu die abgebildeten Schalt flächen. Schritt 2: Zellen markieren Mehrere Zellen werden markiert, indem man bei gedrückter linker Maustaste den gewünschten Bereich überstreicht und anschließend die Maustaste loslässt. a) Welche Zellen sind hier markiert? b) Markiere die Zellen G4, G5, G6, H4, H5, H6. Schritt 3: Zahlen berechnen und ordnen Eine Runde auf dem Sportplatz ist 400 m lang. Beim 800-m-Lauf ergaben sich die folgenden Zeiten in Sekunden. Um Zahlen aus Zellen zu berechnen, trägt man nach dem Markieren der Zelle die entsprechende Formel in die Ergebniszelle ein. Dabei beginnt man mit einem Gleichheitszeichen und verwendet die Adresse der Zelle (z. B. B3). Die Eingabe wird mit der Enter-Taste abgeschlossen. Berechnung der Zahlen aus den Zellen B3 und C3 a) Übertrage die Tabelle in dein Programm und vervollständige sie. b) Verändere Lucas Zeiten für die 1. Runde. Was stellst du fest? Zum Ordnen wird der Bereich markiert, den man ordnen möchte (hier von Zelle A2 bis D5). Anschließend wählt man aus der Menüleiste „Daten“ die Möglichkeit „Sortieren“ aus. Es öffnet sich ein Menüfenster, in dem man die entsprechende Spalte aussucht. c) Ordne die Ergebnisse nach der schnellsten 1. Runde (2. Runde, Gesamtzeit). Schritt 4: Diagramme erstellen Bei der Wahl zum Schülersprecher gibt es folgende Ergebnisse (Stimmen): Marion 32, Martin 31, Klaus 55, Kati 54, Jussuf 46, Inga 19, Peter 45, Anke 35. a) Erstelle auf einem Tabellenblatt eine Liste und ordne die Anzahl der Stimmen der Größe nach. Wer ist Schülersprecher oder Schülersprecherin? b) Wie viele Schüler haben insgesamt abgestimmt? Berechne mit dem Programm. Um ein Diagramm zu erstellen, markiert man zunächst den notwendigen Bereich. Anschließend wählt man aus der Menüleiste das Symbol für den Diagramm-Assistenten . Es erscheint ein Fenster, aus dem man den Diagrammtyp (z. B. Säulendiagramm) und den Untertyp wählt. Eine Vorschau kann man bei gedrückter linker Maustaste bei „Schaltfläche drücken für Beispiel“ sehen. Ein Klick auf „Fertig stellen“ führt zum Diagramm. Möchte man das Diagramm stärker verändern, kann man zunächst auf „Weiter“ klicken und dann beispielsweise den Titel des Diagramms oder die Einteilung der Achsen gezielt wählen. markierter Bereich für für das Diagramm Untertyp Diagrammtyp Vorschau c) Veranschauliche die Ergebnisse in einem Säulen diagramm. An der folgenden Aufgabe kannst du überprüfen, ob du verstanden hast, wie man Daten mit dem Computer darstellt. In Deutschland verbraucht eine Person im Durchschnitt die angebebenen Wassermengen pro Tag. a) Erstelle eine Liste des Wasserverbrauchs und sortiere sie nach der Größe. b) Stelle den Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm dar. c) Überlege dir, wie man im Haushalt Wasser ein sparen kann. Körperpflege 7 ℓ Toilette 4 ℓ Baden, duschen 39 ℓ Geschirrspüler 8 ℓ Wäsche waschen 15 ℓ Garten 5 ℓ Trinken, kochen 3 ℓ Putzen, Sonstiges 10 ℓ 1 Überprüfe deine Fähigkeiten und Kompetenzen. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten findest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Das kann ich wirklich gut! Das kann ich fast! Das muss ich noch üben! Aufgaben zur Einzelarbeit Benenne die Körper und beschreibe jeweils ihre Eigenschaften. Welcher Körper hat folgende Eigenschaften? Findest du mehrere Möglichkeiten? a) Der Körper hat nur Rechtecke als Begrenzungsflächen. b) Der Körper hat Dreiecke als Grundund Deckfläche. c) Der Körper hat 12 Kanten und 8 Ecken. d) Der Körper hat 1 Kante und keine Ecke. e) Der Körper hat 3 Flächen und keine Ecke. f) Der Körper hat nur 2 Begrenzungsflächen. Vervollständige die Schrägbilder der Körper. Zeichne ein Schrägbild … a) einer quadratischen Pyramide mit Kantenlänge a = 4,5 cm und Pyramidenhöhe h = 3,5 cm. b) eines Zylinders mit dem Radius r = 2 cm und einer Höhe von h = 3 cm. 1 a) b) c) d) e) g) f) 2 3 a) b) Quader Dreiecksprisma 4 Welche geometrischen Körper erkennst du? a) Grundriss: b) Aufriss: Zeichne Grundund Aufriss der abgebildeten Körper (alle Maßangaben in cm). Zu welchem Körper gehört das jeweilige Netz? Berechne das Volumen und die Oberfläche eines geraden Prismas mit 5,6 cm Körperhöhe. Die Grundfläche des Prismas ist ein … a) rechtwinkliges Dreieck mit a = 3,6 cm, b = 2,4 cm, c = 4,3 cm und γ = 90°. b) Parallelogramm mit a = 8,4 cm, b = 6,2 cm und ha = 5,0 cm. c) gleichschenkliges Trapez mit a = 7,0 cm, b = 3,2 cm, c = 4,0 cm und ha = 2,8 cm. 5         6 3 4,5 1,5 1,5 2 1,5 1,5 6 4 a) b) 7 a) e) f) g) b) c) d) 8 Ein 8 cm hohes Prisma hat ein gleichseitiges Dreieck (12 cm Seitenlänge; 10,4 cm Höhe) als Grundfläche. Berechne Volumen und Ober fläche. Ein zylindrischer Gasbehälter hat einen Durchmesser von 20 m. Er fasst 7200 m³ Gas. Wie hoch ist dieser Behälter? Berechne Volumen und Oberfläche der Körper. 9 10 11 35 mm 45 mm 45 mm 11 mm 22 mm 38 mm 44 mm 50 mm a) b) In einen Holzwürfel der Kantenlänge 8 cm werden von jeder Seite qua dra tische Ausspa rungen mit einer Seitenlänge von 4 cm gefräst. a) Wie viel Prozent des ursprünglichen Volumens hat der neue Körper? b) Vergleiche die Oberfläche des ursprünglichen Würfels mit der des gefrästen Körpers. 12 Aufgaben für Lernpartner In einem Schrägbild werden alle nach hinten verlaufenden Kanten auf die Hälfte gekürzt und in einem Winkel von 90° gezeichnet. Rechte Winkel werden im Schrägbild stets als rechte Winkel dargestellt. In einem Prisma kann der Winkel zwischen zwei Flächen niemals stumpfwinklig sein. Das Netz eines Prismas hat so viele Rechtecksflächen wie das Vieleck der Grundfläche Seiten hat. Bei einem Zweitafelbild wird die Ansicht eines Körpers von vorne und von der Seite in einer Ebene gezeichnet. A B C D E Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. Wenn von einem Prisma die Höhe nicht bekannt ist, kann man versuchen die Höhe über das Volumen und den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen. Radius und Flächeninhalt der Grundfläche des Zylinders sind zueinander proportional. Die Mantelfläche eines Zylinders ist immer so groß wie die Summe der Grundund Deckfläche. Das Volumen hat bei gleichen Grundeinheiten stets eine größere Maßzahl als die Oberfläche. Verdoppelt man den Radius eines Zylinders, dann vervierfacht sich das Volumen. F G H I J Ich weiß und kann … Aufgaben Hilfe Körper anhand ihrer Eigenschaften erkennen und beschreiben. 1, 2, C S. 168 Schrägbilder mathematischer Körper zeichnen. 3, 4, A, B S. 172 Körper aus Zweitafelbildern erkennen. 5 S. 176 Zweitafelbilder von Körpern zeichnen. 6, E S. 176 Körper anhand ihrer Netze erkennen. 7, D S. 178 Berechnungen am Prisma durchführen. 8, 9, 12, F, I S. 180, 182 Berechnungen am Zylinder durchführen. 10, 11, G, H, J S. 180, 182 5 Das kann ich ! 190 191 Entdecken Verstehen Nachgefragt ▪ Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Radius verdoppelt (verdreifacht, halbiert)? ▪ Begründe, warum gilt: AK = pi ∙ r² = pi __ 4 ∙ d² = uK ___ 2 ∙ r. Peter und Paul sollen den Flächeninhalt eines Kreises mit r = 3 cm experimentell ermitteln. M r Peters Idee: u 2 AP = ∙ r u 2 Pauls Idee: ▪ Probiere beide Verfahren aus. Wessen Lösungsidee gefällt dir besser? ▪ Welche Ergebnisse erhalten Peter und Paul jeweils für den Flächeninhalt? ▪ Kannst du das Ergebnis auch in Abhängigkeit des Radius angeben? Ähnlich wie beim Umfang hängt auch der Flächeninhalt des Kreises vom Radius ab. Beispiele 1. Vor Fußballspielen in der UEFA Champions League wird exakt im Mittelkreis des Fußballplatzes das Banner mit dem Logo des Wett bewerbs ausgebreitet. Berechne die Größe der Banner fläche, wenn der Mittelkreis einen Radius von 9,15 m hat. Lösung: AK = pi ∙ r² = pi · (9,15 m)² ≈ 263,0 m² Die Bannerfläche ist etwa 263 m² groß. 2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist etwa 706 m² groß. Wie groß ist der Radius dieses Kreises? Lösung: AK = pi ∙ r² | : pi ⇒ r² = AK ___ pi = 706 m 2 ______pi ≈ 225 m² ⇒ r = 15 m, denn 15² = 225 Der Kreis hat einen Radius von etwa 15 m. Für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r bzw. Durchmesser d gilt: AK = pi ∙ r² oder AK = pi ∙ ( d __ 2 ) 2 Der Flächeninhalt eines Kreises ist somit direkt proportional zum Quadrat des Radius. rM d Berechne den Flächeninhalt der Kreise. a) r = 17,4 cm b) r = 28,5 m c) d = 0,48 dm d) d = 1,2 km Berechne Radius und Durchmesser der Kreise. a) AK = 314 m² b) AK = 3,14 cm² c) AK = 803,8 mm² d) AK = 28,3 ha Berechne die fehlenden Größen. Runde geeignet. Pizzabäcker Bruno bietet seiner Kundschaft Pizzen in zwei Größen an. Die kleine Pizza hat einen Durchmesser von 24 cm und kostet 3,80 €, die große Pizza mit einem Durchmesser von 36 cm kostet 7,60 €. Bernd und Susanne überlegen, ob sie zwei kleine Pizzen kaufen oder sich lieber eine große Pizza teilen sollten. Beim Bogenschießen werden Zielscheiben mit einem Durchmesser von 1,22 m verwendet. Auf den Scheiben sind konzentrische Kreise aufgedruckt. Der innere gelbe Kreis hat einen Durchmesser von 12,2 cm. Die Kreisringe sind jeweils gleich „dick“. a) Berechne den Flächeninhalt der Zielscheibe. b) Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Ringe. Übertrage die Figur in dein Heft. Schraffiere den Flächeninhalt mit Bleistift und bestimme seine Größe. Herr Grohe renoviert in seinem Haus das Gäste-Bad (siehe Skizze rechts). Ursprünglich hat er ausgerechnet, dass für den Bodenbelag (ohne Verschnitt) 5,5 m² Fliesen benötigt werden. Doch halt! Er hat vergessen, den Flächeninhalt abzuziehen, den die neue Duschwanne einnimmt. Welche mathematischen Fragestellungen findest du hierzu? Beantworte sie anschließend. 1 2 3 Lösungen zu 3 (ohne Einheit): 0,79; 87,96; 169,65; 24; 3,14; 150,8; 23,4; 11,7; 54; 429,9; 14; 28; 0,5; 2290,22; 400; 1809,56; 800; 2513,27 a) b) c) d) e) f) r 27 cm d 48 m 1 km AK 615,5 m² 50,3 ha uK 73,5 m 4 5 Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. 6 a) b) c) 7 80 cm 80 cm Duschwanne: Peter sagt: Ich zeichne den Kreis auf kariertes Papier und zähle die Kästchen, die innerhalb des Kreises liegen, ganz und die auf dem Rand nur halb.“ Paul überlegt: „Ich zerschneide den Kreis in 16 Tortenstücke. Dann setze ich die Stücke so zusammen, dass sich näherungsweise ein Parallelogramm ergibt.“ 4.9 Flächeninhalt eines Kreises 154 155 4 Kap. 4.6 und 4.7 Kap. 4.9 und 4.10 Kap. 4.2 und 4.3 A₃ A₆ A₅A₄ A₁ A₂ 1,8 m 2,45 m 0,95 m 1,25 m 2,35 m 3,25 m 2,5 m0,8 m1,8 m Grundstück vermessen ▪ Miss den Flächeninhalt eines Grundstücks mit folgendem Vorgehen:  Markiere mit den Fluchtstangen die Eckpunkte des Grundstücks. Lege eine Diagonale fest und markiere diese durch ein Absperrband.  Finde mit dem Winkelmesser die Lotfußpunkte der Eckpunkte auf der Diagonalen. Im Bild sind die Lote mit Absperrband markiert.  Die Fläche wird durch dieses Verfahren in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze unterteilt. Skizziere das Grundstück mit der Diagonalen und den Loten auf ein Blatt. Bestimme nun die Länge der einzelnen Lote und die Abstände zwischen den Lotfußpunkten. Trage die Messwerte in die Skizze ein.  Berechne nun die gesamte Grundstücksfläche aus den verschiedenen Trapezund Dreiecksflächen. Bester Platz Anna-Sophia und Felix entwerfen ein Geschicklichkeitsspiel. Sie sitzen sich auf Stühlen schräg gegenüber und wollen Münzen in mehrere, am Boden stehende Becher werfen. Die Becher sollen dabei so platziert werden, dass ihre Entfernung zu beiden Spielern jeweils gleich groß ist, damit gleiche Trefferchancen herrschen. ▪ Wo müssen die Becher plaziert werden, damit das Spiel fair ist? Probiere aus. ▪ Wie viele Positionen für die Becher gibt es theoretisch für ein faires Spiel? ▪ Probiere das Spiel mit einem Partner aus. Ihr könnt den Bechern auch verschiedene Punktzahlen zuordnen. Zum Vermessen brauchst du Folgendes: ▪ Fluchtstangen (gut sichtbare Holzpfosten) ▪ 50-m-Maßband (z. B. aus dem Sportunterricht) ▪ rot-weißes Absperrband aus dem Baumarkt ▪ Winkelmesser ▪ Schreibmaterial Experimentieren am Computer Experimentiere mit einem dynamischen Geometriesystem. Zeichne einen Kreis mit Radius 5 cm. Trage auf der Kreislinie eine Sehne ___ AB mit 6 cm ab. Lege einen weiteren Punkt C auf die Kreis linie. Zeichne das Dreieck ABC. ▪ Bestimme den Winkel γ. ▪ Bewege den Punkt C auf der Kreislinie. Was stellst du fest? ▪ Führe das Experiment für eine andere Sehnenlänge durch. Fahrräder vermessen Hast du dir auch schon einmal überlegt, wie weit du bei einer Umdrehung eines Fahrradreifens kommst? ▪ Miss den Durchmesser des Fahrradreifens. ▪ Markiere mit einer Kreide die unterste Stelle des Reifens mit einem Strich auf Reifen und Untergrund. Rolle das Fahrrad eine Umdrehung weit und markiere die Strecke wieder mit einem Strich. Miss die gefahrene Strecke. ▪ Berechne, wie oft der Durchmesser des Fahrradreifens in die gefahrene Strecke passt. ▪ Wiederhole den Versuch mit mindestens einem weiteren Reifen mit einer anderen Größe. ▪ Beschreibe die Zusammenhänge zwischen Durchmesser und Umfang des Fahrradreifens. Zum Vermesse n brauchst du Folgendes: ▪ mind. 2 Fahrrä der mit versch iedenen Reifengrößen ▪ mind. 10-m-M aßband (z. B. aus dem S portunterricht ) ▪ Kreide ▪ Schreibmateri al Kap. 4.4 d C A B M γ 6 cm r = 5 cm 4 Entdecken 130 131 Vermessen ▪▪ Aufgaben in drei Anforderungs bereichen: üben, anwenden und vernetzen lassen Das kann ich ! ▪▪ Kompetenzzuwachs erlebbar machen und sichern ▪▪ Lösungen im Anhang Entdecken ▪▪ Erkunden und entdecken lassen ▪▪ alternative Einstiege gestalten Werkzeug und Themenseite ▪▪ Prozessbezogene Kompetenzen schulen ▪▪ Sprach und Medienbildung fördern ▪▪ Bei „Themenseite“ drei Anforderungsbereiche ( , , ) Nu r z u Pr üf zw e ke n Ei ge nt um d es C .C . B ch ne V er la gs

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Werkzeug1 Daten und ihre Darstellung mit dem Computer 46 47 Schritt 1: Tabellen erstellen Nach dem Start eines Tabellenprogramms kann eine Tabelle bearbeitet werden. Diese besteht aus Spalten, die mit Buchstaben bezeichnet werden, und Zeilen, die durchnummeriert sind. Durch die Angabe eines Buchstaben und einer Zahl lässt sich jede Zelle, so nennt man ein Kästchen der Tabelle, genau bezeichnen: Man spricht von der „Adresse“ einer Zelle (z. B. B3). Der Inhalt einer Zelle, der in der Befehlszeile erscheint, wird durch eine Eingabe, die ein Text, eine Zahl oder eine Formel sein kann, festgelegt. Menüleisten Markierte Zeile Zelle, die gerade bearbeitet wird Befehlszeile Spalte Zeile a) Erstelle deinen Stundenplan auf einem Tabellenblatt. b) Gestalte deinen Stundenplan, indem du Schriftart, Schriftgröße, Farben und Ausrichtung wählst. Du brauchst dazu die abgebildeten Schalt flächen. Schritt 2: Zellen markieren Mehrere Zellen werden markiert, indem man bei gedrückter linker Maustaste den gewünschten Bereich überstreicht und anschließend die Maustaste loslässt. a) Welche Zellen sind hier markiert? b) Markiere die Zellen G4, G5, G6, H4, H5, H6. Schritt 3: Zahlen berechnen und ordnen Eine Runde auf dem Sportplatz ist 400 m lang. Beim 800-m-Lauf ergaben sich die folgenden Zeiten in Sekunden. Um Zahlen aus Zellen zu berechnen, trägt man nach dem Markieren der Zelle die entsprechende Formel in die Ergebniszelle ein. Dabei beginnt man mit einem Gleichheitszeichen und verwendet die Adresse der Zelle (z. B. B3). Die Eingabe wird mit der Enter-Taste abgeschlossen. Berechnung der Zahlen aus den Zellen B3 und C3 a) Übertrage die Tabelle in dein Programm und vervollständige sie. b) Verändere Lucas Zeiten für die 1. Runde. Was stellst du fest? Zum Ordnen wird der Bereich markiert, den man ordnen möchte (hier von Zelle A2 bis D5). Anschließend wählt man aus der Menüleiste „Daten“ die Möglichkeit „Sortieren“ aus. Es öffnet sich ein Menüfenster, in dem man die entsprechende Spalte aussucht. c) Ordne die Ergebnisse nach der schnellsten 1. Runde (2. Runde, Gesamtzeit). Schritt 4: Diagramme erstellen Bei der Wahl zum Schülersprecher gibt es folgende Ergebnisse (Stimmen): Marion 32, Martin 31, Klaus 55, Kati 54, Jussuf 46, Inga 19, Peter 45, Anke 35. a) Erstelle auf einem Tabellenblatt eine Liste und ordne die Anzahl der Stimmen der Größe nach. Wer ist Schülersprecher oder Schülersprecherin? b) Wie viele Schüler haben insgesamt abgestimmt? Berechne mit dem Programm. Um ein Diagramm zu erstellen, markiert man zunächst den notwendigen Bereich. Anschließend wählt man aus der Menüleiste das Symbol für den Diagramm-Assistenten . Es erscheint ein Fenster, aus dem man den Diagrammtyp (z. B. Säulendiagramm) und den Untertyp wählt. Eine Vorschau kann man bei gedrückter linker Maustaste bei „Schaltfläche drücken für Beispiel“ sehen. Ein Klick auf „Fertig stellen“ führt zum Diagramm. Möchte man das Diagramm stärker verändern, kann man zunächst auf „Weiter“ klicken und dann beispielsweise den Titel des Diagramms oder die Einteilung der Achsen gezielt wählen. markierter Bereich für für das Diagramm Untertyp Diagrammtyp Vorschau c) Veranschauliche die Ergebnisse in einem Säulen diagramm. An der folgenden Aufgabe kannst du überprüfen, ob du verstanden hast, wie man Daten mit dem Computer darstellt. In Deutschland verbraucht eine Person im Durchschnitt die angebebenen Wassermengen pro Tag. a) Erstelle eine Liste des Wasserverbrauchs und sortiere sie nach der Größe. b) Stelle den Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm dar. c) Überlege dir, wie man im Haushalt Wasser ein sparen kann. Körperpflege 7 ℓ Toilette 4 ℓ Baden, duschen 39 ℓ Geschirrspüler 8 ℓ Wäsche waschen 15 ℓ Garten 5 ℓ Trinken, kochen 3 ℓ Putzen, Sonstiges 10 ℓ 1 Überprüfe deine Fähigkeiten und Kompetenzen. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten findest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Das kann ich wirklich gut! Das kann ich fast! Das muss ich noch üben! Aufgaben zur Einzelarbeit Benenne die Körper und beschreibe jeweils ihre Eigenschaften. Welcher Körper hat folgende Eigenschaften? Findest du mehrere Möglichkeiten? a) Der Körper hat nur Rechtecke als Begrenzungsflächen. b) Der Körper hat Dreiecke als Grundund Deckfläche. c) Der Körper hat 12 Kanten und 8 Ecken. d) Der Körper hat 1 Kante und keine Ecke. e) Der Körper hat 3 Flächen und keine Ecke. f) Der Körper hat nur 2 Begrenzungsflächen. Vervollständige die Schrägbilder der Körper. Zeichne ein Schrägbild … a) einer quadratischen Pyramide mit Kantenlänge a = 4,5 cm und Pyramidenhöhe h = 3,5 cm. b) eines Zylinders mit dem Radius r = 2 cm und einer Höhe von h = 3 cm. 1 a) b) c) d) e) g) f) 2 3 a) b) Quader Dreiecksprisma 4 Welche geometrischen Körper erkennst du? a) Grundriss: b) Aufriss: Zeichne Grundund Aufriss der abgebildeten Körper (alle Maßangaben in cm). Zu welchem Körper gehört das jeweilige Netz? Berechne das Volumen und die Oberfläche eines geraden Prismas mit 5,6 cm Körperhöhe. Die Grundfläche des Prismas ist ein … a) rechtwinkliges Dreieck mit a = 3,6 cm, b = 2,4 cm, c = 4,3 cm und γ = 90°. b) Parallelogramm mit a = 8,4 cm, b = 6,2 cm und ha = 5,0 cm. c) gleichschenkliges Trapez mit a = 7,0 cm, b = 3,2 cm, c = 4,0 cm und ha = 2,8 cm. 5         6 3 4,5 1,5 1,5 2 1,5 1,5 6 4 a) b) 7 a) e) f) g) b) c) d) 8 Ein 8 cm hohes Prisma hat ein gleichseitiges Dreieck (12 cm Seitenlänge; 10,4 cm Höhe) als Grundfläche. Berechne Volumen und Ober fläche. Ein zylindrischer Gasbehälter hat einen Durchmesser von 20 m. Er fasst 7200 m³ Gas. Wie hoch ist dieser Behälter? Berechne Volumen und Oberfläche der Körper. 9 10 11 35 mm 45 mm 45 mm 11 mm 22 mm 38 mm 44 mm 50 mm a) b) In einen Holzwürfel der Kantenlänge 8 cm werden von jeder Seite qua dra tische Ausspa rungen mit einer Seitenlänge von 4 cm gefräst. a) Wie viel Prozent des ursprünglichen Volumens hat der neue Körper? b) Vergleiche die Oberfläche des ursprünglichen Würfels mit der des gefrästen Körpers. 12 Aufgaben für Lernpartner In einem Schrägbild werden alle nach hinten verlaufenden Kanten auf die Hälfte gekürzt und in einem Winkel von 90° gezeichnet. Rechte Winkel werden im Schrägbild stets als rechte Winkel dargestellt. In einem Prisma kann der Winkel zwischen zwei Flächen niemals stumpfwinklig sein. Das Netz eines Prismas hat so viele Rechtecksflächen wie das Vieleck der Grundfläche Seiten hat. Bei einem Zweitafelbild wird die Ansicht eines Körpers von vorne und von der Seite in einer Ebene gezeichnet. A B C D E Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. Wenn von einem Prisma die Höhe nicht bekannt ist, kann man versuchen die Höhe über das Volumen und den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen. Radius und Flächeninhalt der Grundfläche des Zylinders sind zueinander proportional. Die Mantelfläche eines Zylinders ist immer so groß wie die Summe der Grundund Deckfläche. Das Volumen hat bei gleichen Grundeinheiten stets eine größere Maßzahl als die Oberfläche. Verdoppelt man den Radius eines Zylinders, dann vervierfacht sich das Volumen. F G H I J Ich weiß und kann … Aufgaben Hilfe Körper anhand ihrer Eigenschaften erkennen und beschreiben. 1, 2, C S. 168 Schrägbilder mathematischer Körper zeichnen. 3, 4, A, B S. 172 Körper aus Zweitafelbildern erkennen. 5 S. 176 Zweitafelbilder von Körpern zeichnen. 6, E S. 176 Körper anhand ihrer Netze erkennen. 7, D S. 178 Berechnungen am Prisma durchführen. 8, 9, 12, F, I S. 180, 182 Berechnungen am Zylinder durchführen. 10, 11, G, H, J S. 180, 182 5 Das kann ich ! 190 191 Entdecken Verstehen Nachgefragt ▪ Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Radius verdoppelt (verdreifacht, halbiert)? ▪ Begründe, warum gilt: AK = pi ∙ r² = pi __ 4 ∙ d² = uK ___ 2 ∙ r. Peter und Paul sollen den Flächeninhalt eines Kreises mit r = 3 cm experimentell ermitteln. M r Peters Idee: u 2 AP = ∙ r u 2 Pauls Idee: ▪ Probiere beide Verfahren aus. Wessen Lösungsidee gefällt dir besser? ▪ Welche Ergebnisse erhalten Peter und Paul jeweils für den Flächeninhalt? ▪ Kannst du das Ergebnis auch in Abhängigkeit des Radius angeben? Ähnlich wie beim Umfang hängt auch der Flächeninhalt des Kreises vom Radius ab. Beispiele 1. Vor Fußballspielen in der UEFA Champions League wird exakt im Mittelkreis des Fußballplatzes das Banner mit dem Logo des Wett bewerbs ausgebreitet. Berechne die Größe der Banner fläche, wenn der Mittelkreis einen Radius von 9,15 m hat. Lösung: AK = pi ∙ r² = pi · (9,15 m)² ≈ 263,0 m² Die Bannerfläche ist etwa 263 m² groß. 2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist etwa 706 m² groß. Wie groß ist der Radius dieses Kreises? Lösung: AK = pi ∙ r² \| : pi ⇒ r² = AK ___ pi = 706 m 2 ______pi ≈ 225 m² ⇒ r = 15 m, denn 15² = 225 Der Kreis hat einen Radius von etwa 15 m. Für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r bzw. Durchmesser d gilt: AK = pi ∙ r² oder AK = pi ∙ ( d __ 2 ) 2 Der Flächeninhalt eines Kreises ist somit direkt proportional zum Quadrat des Radius. rM d Berechne den Flächeninhalt der Kreise. a) r = 17,4 cm b) r = 28,5 m c) d = 0,48 dm d) d = 1,2 km Berechne Radius und Durchmesser der Kreise. a) AK = 314 m² b) AK = 3,14 cm² c) AK = 803,8 mm² d) AK = 28,3 ha Berechne die fehlenden Größen. Runde geeignet. Pizzabäcker Bruno bietet seiner Kundschaft Pizzen in zwei Größen an. Die kleine Pizza hat einen Durchmesser von 24 cm und kostet 3,80 €, die große Pizza mit einem Durchmesser von 36 cm kostet 7,60 €. Bernd und Susanne überlegen, ob sie zwei kleine Pizzen kaufen oder sich lieber eine große Pizza teilen sollten. Beim Bogenschießen werden Zielscheiben mit einem Durchmesser von 1,22 m verwendet. Auf den Scheiben sind konzentrische Kreise aufgedruckt. Der innere gelbe Kreis hat einen Durchmesser von 12,2 cm. Die Kreisringe sind jeweils gleich „dick“. a) Berechne den Flächeninhalt der Zielscheibe. b) Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Ringe. Übertrage die Figur in dein Heft. Schraffiere den Flächeninhalt mit Bleistift und bestimme seine Größe. Herr Grohe renoviert in seinem Haus das Gäste-Bad (siehe Skizze rechts). Ursprünglich hat er ausgerechnet, dass für den Bodenbelag (ohne Verschnitt) 5,5 m² Fliesen benötigt werden. Doch halt! Er hat vergessen, den Flächeninhalt abzuziehen, den die neue Duschwanne einnimmt. Welche mathematischen Fragestellungen findest du hierzu? Beantworte sie anschließend. 1 2 3 Lösungen zu 3 (ohne Einheit): 0,79; 87,96; 169,65; 24; 3,14; 150,8; 23,4; 11,7; 54; 429,9; 14; 28; 0,5; 2290,22; 400; 1809,56; 800; 2513,27 a) b) c) d) e) f) r 27 cm d 48 m 1 km AK 615,5 m² 50,3 ha uK 73,5 m 4 5 Konzentrische Kreise haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. 6 a) b) c) 7 80 cm 80 cm Duschwanne: Peter sagt: Ich zeichne den Kreis auf kariertes Papier und zähle die Kästchen, die innerhalb des Kreises liegen, ganz und die auf dem Rand nur halb.“ Paul überlegt: „Ich zerschneide den Kreis in 16 Tortenstücke. Dann setze ich die Stücke so zusammen, dass sich näherungsweise ein Parallelogramm ergibt.“ 4.9 Flächeninhalt eines Kreises 154 155 4 Kap. 4.6 und 4.7 Kap. 4.9 und 4.10 Kap. 4.2 und 4.3 A₃ A₆ A₅A₄ A₁ A₂ 1,8 m 2,45 m 0,95 m 1,25 m 2,35 m 3,25 m 2,5 m0,8 m1,8 m Grundstück vermessen ▪ Miss den Flächeninhalt eines Grundstücks mit folgendem Vorgehen:  Markiere mit den Fluchtstangen die Eckpunkte des Grundstücks. Lege eine Diagonale fest und markiere diese durch ein Absperrband.  Finde mit dem Winkelmesser die Lotfußpunkte der Eckpunkte auf der Diagonalen. Im Bild sind die Lote mit Absperrband markiert.  Die Fläche wird durch dieses Verfahren in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze unterteilt. Skizziere das Grundstück mit der Diagonalen und den Loten auf ein Blatt. Bestimme nun die Länge der einzelnen Lote und die Abstände zwischen den Lotfußpunkten. Trage die Messwerte in die Skizze ein.  Berechne nun die gesamte Grundstücksfläche aus den verschiedenen Trapezund Dreiecksflächen. Bester Platz Anna-Sophia und Felix entwerfen ein Geschicklichkeitsspiel. Sie sitzen sich auf Stühlen schräg gegenüber und wollen Münzen in mehrere, am Boden stehende Becher werfen. Die Becher sollen dabei so platziert werden, dass ihre Entfernung zu beiden Spielern jeweils gleich groß ist, damit gleiche Trefferchancen herrschen. ▪ Wo müssen die Becher plaziert werden, damit das Spiel fair ist? Probiere aus. ▪ Wie viele Positionen für die Becher gibt es theoretisch für ein faires Spiel? ▪ Probiere das Spiel mit einem Partner aus. Ihr könnt den Bechern auch verschiedene Punktzahlen zuordnen. Zum Vermessen brauchst du Folgendes: ▪ Fluchtstangen (gut sichtbare Holzpfosten) ▪ 50-m-Maßband (z. B. aus dem Sportunterricht) ▪ rot-weißes Absperrband aus dem Baumarkt ▪ Winkelmesser ▪ Schreibmaterial Experimentieren am Computer Experimentiere mit einem dynamischen Geometriesystem. Zeichne einen Kreis mit Radius 5 cm. Trage auf der Kreislinie eine Sehne ___ AB mit 6 cm ab. Lege einen weiteren Punkt C auf die Kreis linie. Zeichne das Dreieck ABC. ▪ Bestimme den Winkel γ. ▪ Bewege den Punkt C auf der Kreislinie. Was stellst du fest? ▪ Führe das Experiment für eine andere Sehnenlänge durch. Fahrräder vermessen Hast du dir auch schon einmal überlegt, wie weit du bei einer Umdrehung eines Fahrradreifens kommst? ▪ Miss den Durchmesser des Fahrradreifens. ▪ Markiere mit einer Kreide die unterste Stelle des Reifens mit einem Strich auf Reifen und Untergrund. Rolle das Fahrrad eine Umdrehung weit und markiere die Strecke wieder mit einem Strich. Miss die gefahrene Strecke. ▪ Berechne, wie oft der Durchmesser des Fahrradreifens in die gefahrene Strecke passt. ▪ Wiederhole den Versuch mit mindestens einem weiteren Reifen mit einer anderen Größe. ▪ Beschreibe die Zusammenhänge zwischen Durchmesser und Umfang des Fahrradreifens. Zum Vermesse n brauchst du Folgendes: ▪ mind. 2 Fahrrä der mit versch iedenen Reifengrößen ▪ mind. 10-m-M aßband (z. B. aus dem S portunterricht ) ▪ Kreide ▪ Schreibmateri al Kap. 4.4 d C A B M γ 6 cm r = 5 cm 4 Entdecken 130 131 Vermessen ▪▪ Aufgaben in drei Anforderungs bereichen: üben, anwenden und vernetzen lassen Das kann ich ! ▪▪ Kompetenzzuwachs erlebbar machen und sichern ▪▪ Lösungen im Anhang Entdecken ▪▪ Erkunden und entdecken lassen ▪▪ alternative Einstiege gestalten Werkzeug und Themenseite ▪▪ Prozessbezogene Kompetenzen schulen ▪▪ Sprach und Medienbildung fördern ▪▪ Bei „Themenseite“ drei Anforderungsbereiche ( , , ) Nu r z u Pr üf zw e ke n Ei ge nt um d es C .C . B ch ne V er la gs
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