Das ist DER ABITRAINER Mathematik Aufbau des Buchs Tipps zur Prüfung Abiturprüfung Mathematik in Nordrhein-Westfalen FAQs zur Abiturprüfung Mathematik in Nordrhein-Westfalen Wie ist die Prüfung aufgebaut? Seit 2017 gliedert sich die Abiturprüfung Mathematik in NordrheinWestfalen in einen A-Teil und einen B-Teil. Geprüft werden sowohl im Grundkurs als auch im Leistungskurs die Inhaltsfelder Analysis, Analytische Geometrie/Lineare Algebra und Stochastik. Was erwartet mich in Prüfungsteil A? Basistechniken Trainieren Sie die Basistechnikenin allen drei Inhaltsfeldern. DerGrundwissenteil in diesem Buch lie-fert einen guten Überblick über diewichtigsten Themen und über das,was Sie auswendig können sollten. Tipp Prüfungsteil A ist der hilfsmittelfreie Teil der Prüfung und für alle Schüler verbindlich. Das heißt, hier dürfen Sie weder GTR noch Formelsammlung verwenden. Die hier enthaltenen Aufgaben beziehen sich auf alle vier Inhaltsfelder und fragen hauptsächlich grundlegende Kenntnisse und Basiskompetenzen ab. Wie sieht Prüfungsteil B aus? Original-Prüfungsaufgaben Üben Sie anhand der Original-Prüfungsaufgaben im Buch verschie-dene Aufgabentypen und versuchenSie, die Muster hinter bestimmtenFormulierungen zu erkennen. Trai-nieren Sie den Umgang mit Opera-toren und verbinden Sie konkreteLösungsstrategien damit. TippIn Prüfungsteil B sind ein GTR bzw. CAS, Ihre Formelsammlung und einWörterbuch zur deutschen Rechtschreibung als Hilfsmittel zugelassen. Ihr Lehrer erhält hier fünf Aufgabensätze, davon zwei zur Analysis, einen zur Vektoriellen Geometrie und zwei zur Stochastik, davon einen mit Schwerpunkt stochastische Matrizen. Im Grundkurs wählt Ihr Lehrer zwei Aufgabensätze zur Bearbeitung aus, einen davon aus der Analysis. Im Leistungskurs sind es drei, und zwar jeweils einer aus Analysis, Vektorieller Geometrie und Stochastik. In Prüfungsungsteil B werden komplexere Zusammenhänge abgefragt, bei denen Sie Gelerntes kombinieren und auf verschiedene Sachund Anwendungssituationen übertragen müssen. Die Aufgaben bestehen aus mehreren Teilaufgaben, die oft aufeinander aufbauen. Wie läuft die Prüfung ab? Aufgabenstellungen gründlichuntersuchen Gerade in Prüfungsteil B, wo mitlängeren Aufgabenstellungen zurechnen ist, kann es helfen, Opera-toren, Schlagwörter und Größen zumarkieren. So filtern Sie wesentlicheInformationen heraus und habenrelevante Angaben immer schnellparat. Die Aufgaben-Markups derAbimap 2017 geben hierfür wertvol-le Anhaltspunkte. Tipp Die folgenden Tabellen zeigen Ihnen die wichtigsten Bausteine, den Ablauf und die Bepunktung der Abiturprüfung im Grundund im Leistungskurs. Grundkurs Aufgabenteil Aufgabentyp AnzahlAufgaben Dauer Punkte Teil A Aufgabensatz mit 4 Teilaufgaben ohne Hilfsmittel 1 max. 45 Minuten 24 Teil B Aufgaben mit Hilfsmitteln 2 min. 135 Minuten 80 3 180 Minuten 104 Leistungskurs Aufgabenteil Aufgabentyp AnzahlAufgaben Dauer Punkte Teil A Aufgabensatz mit 4 Teilaufgaben ohne Hilfsmittel 1 max. 45 Minuten 24 Teil B Aufgaben mit Hilfsmitteln 3 min. 210 Minuten 120 4 255 Minuten 144 6 • Informationen zum Ablauf und zu den wichtigsten Inhalten • Erklärung relevanter Operatoren mit Praxisbeispielen • konkrete Tipps zur Vorbereitung auf die Prüfung Abimaps 2017 – anschaulich aufbereiteteOriginal-Prüfung mit Schritt-für-Schritt-Lösung Abimaps Nordrhein-Westfalen Abitur 2017Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel a) Gegeben ist die in R definierte Funktion f (x) = x3 + 2x2. (1)2P Weisen Sie nach, dass x1 = −2 und x2 = 0 die einzigen Nullstellen NULLSTELLEN(REGELFALL): Abi001 von f sind. Alle Nullstellen müssen bestimmt werden; die vorgegebenen durch Einsetzen zu prüfen reicht nicht.Nullstellengleichung nach x auflösen: f (x) = 0⇐⇒ x3 + 2x2 = 0 ⇐⇒ x2 · (x + 2) = 0 ⇐⇒ x2 = 0 oder x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = −2 Ausklammern! Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. (2)4P Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt. −2 −1 0 1 x y Fläche erstreckt sich von der linken zur rechten Nullstelle VERANSCHAULICHUNG DER FLA¨CHE Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse werden über Integrale berechnet. BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Lösung: A = 0∫ −2 f (x) dx = 0∫ −2 x3 + 2x2 dx = [ 1 4 x4 + 2 · 1 3 x3 ]0 −2 = ( 1 4 · 04 + 2 · 1 3 · 03 ) − ( 1 4 (−2)4 + 2 · 1 3 (−2)3 ) = 0− ( 4− 16 3 ) = 4 3 b) Untersucht werden die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen. (1)4P Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: 3×3-GLEICHUNGSSYSTEM: Abi043 3 · x1 − 2 · x2 = 13 x2 + 2 · x3 = 5 x2 + x3 = 3 einfacheres Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten 10 • Aufgaben-Markups, die wichtige Begrifflichkeiten und Operatoren der Aufgabenstellung erklären • ausführliche Musterlösungen, mit denen Sie die Lösungswege Schritt für Schritt nachvollziehen • QR-Codes bzw. Mediencodes, die direkt zu den passenden Erklärvideos führen • anschauliche Graphiken, die Zusammenhänge visuell aufbereiten • Verbindungspfeile, die eine Beziehung zwischen den Lösungsschritten herstellen Original-Prüfungsaufgaben 2015–2017 – Training derrealen Prüfungssituation Originalprüfung Nordrhein-Westfalen Abitur 2016 Aufgabe 3 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O(0|0|0), A(8|0|0), B(8|8|0), C (0|8|0), D(8|0|8), E (8|8|8), F (0|8|8) und G (0|0|8) Eckpunkte eines Würfels OABCDEFG . Außerdem sind die Punkte L(8|0|1), M(8|8|3) und N(0|8|5) gegeben (siehe Abbildung). x1 x2 x3 A B C D E F G L M N O Abbildung a) (1) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. (2) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. (3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks LMN.[ Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des Dreiecks LMN beträgt 24 · √2 [FE].] (4 + 4 + 5 Punkte) b) (1) Ermitteln Sie eine Parameterund eine Koordinatengleichung der Ebene H, die die Punkte L, M und N enthält.[ Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: H : x1 − x2 + 4x3 = 12. ] (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g , die durch die Punkte P(11|−3|20) und D festgelegt ist, und der Ebene H.[ Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist S ( 58 9 ∣∣∣∣149 ∣∣∣∣169 ) . ] (3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet. (4) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide LMND. (7 + 7 + 5 + 5 Punkte) 111 • Originalaufgaben 2015 und 2016 im Buch • Original-Prüfung 2017 zum Download • Tipps zum Lösungsweg • Musterlösungen entsprechend den Prüfungsanforderungen Grundwissen – gezieltes Wiederholen wichtigerKompetenzen Grundwissen Analysis GrundwissenTangentenDarum geht’s TANGENTEN: Abi016 Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie dieser hat. 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 x y GfT Graph der Funktion f Stelle x = 3 Tangente y-Achsenabschnitt der Tangente Typische Aufgaben im Abitur Allgemeine Geradengleichung Die Gleichung einer nicht senkrech-ten Gerade hat immer die Formy = m · x + t, wobei m die Steigungund t der y-Achsenabschnitt ist. Umtypische Aufgaben zu lösen, müssenSie also passende Parameter m undt bestimmen. Tipp • Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x = 3. • Berechnen Sie die Tangente mit der Steigungm = 2. • Die Tangente begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Das Wichtigste zum Auswendiglernen Tangentengleichung bestimmen Die folgende Übersicht zeigt, wie Sie die Parameterm und t bestimmen, wenn eine Funktion f und eine x-Koordinate vorgegeben wurden. Schritt bestimmt Ableitung berechnen Steigungsverlauf von f x-Wert in die Ableitung einsetzen, um die Steigung dort zu berechnen Parameter m Funktionswert im Tangentenpunkt bestimmen Punkt auf der Geraden Punktkoordinaten in allgemeine Geradengleichung einsetzen und nach t auflösen Parameter t berechnete Parameter in die Geradengleichung einsetzen fertige Tangentengleichung 145 • relevante Themen aus Analysis, Geometrie/Linearer Algebra und Stochastik • typische Abituraufgaben und Sachzusammenhänge • Kurzanleitungen („So funktioniert’s“) • wertvolle Tipps und Tricks • das Wichtigste zum Auswendiglernen 5 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er l s