121 I. Finde heraus, für welche natürliche Zahl n > 1 die Radieschen in der Abbildung stehen. II. Eine Bank für mathematisch interessierte Kunden bietet Folgendes an: „Wir zahlen Ihnen am Ende der Laufzeit den Wert des Produkts aus dem Betrag, den Sie eingezahlt haben, und einer Potenz von 1,04 aus; dabei setzen wir als Exponenten denjenigen Bruchteil eines Jahres an, für den Sie Ihr Geld bei uns angelegt haben.“ a) Überlege, welchen Jahreszinssatz die Bank zugrunde legt. b) Ermittle, welchen Betrag Herr Mayer am Ende ausbezahlt bekommt, wenn er 1 000 f zuerst für 6 Monate und anschließend für weitere 3 Monate bei der Bank anlegt. c) Berechne, ob Herr Mayer einen anderen Endbetrag ausbezahlt bekommen hätte, wenn er seine 1 000 f gleich für ein dreiviertel Jahr angelegt hätte. III. Ein Club für Brettspiele veranstaltet regelmäßig Turniere, bei denen man je nach Geschick an einer gewissen Anzahl von Spielen teilnehmen kann. Die Gesamtnote eines Spielers errechnet sich nach der Formel Gesamtnote = Anzahl der Punkte _______________ Anzahl der Turniere + 10 · 3 √ _______________ Anzahl der Spiele . a) Bestimme die aktuellen Platzierungen der vier Spieler/Spielerinnen in der Tabelle. b) Entwickle jeweils eine neue Regel zur Berechnung der Gesamtnote, nach der Lizzy bzw. Siri den ersten Platz einnimmt. IV. Der Mathematiker Girolamo Cardano (1501–1576) hat für die Gleichung x³ + 3x = 14 als reelle Lösung x = 2 gefunden. Auf einem anderen Lösungsweg kam er zu der reellen Lösung x = 3 √ _______ √ ___ 50 + 7 – 3 √ _______ √ ___ 50 – 7 . a) Zeige, dass die Faktorisierung x³ + 3x – 14 = (x – 2)(x² + 2x + 7) richtig ist. Begründe, dass die Gleichung x³ + 3x = 14 die Lösung x = 2 besitzt und dass sie keine weiteren reellen Lösungen hat. Halte deine Begründungen schriftlich fest. b) Zeige, dass ( √ __ 2 + 1)3 = √ ___ 50 + 7 und dass ( √ __ 2 – 1)3 = √ ___ 50 – 7 ist. Finde her aus, was du für den Wert des Terms 3 √ ________ √ ___ 50 + 7 – 3 √ _______ √ ___ 50 – 7 folgern kannst. V. Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit: 1 cm) in dein Heft und trage dann dort den Graphen Gf der Funktion f: f(x) = x²; Df = + 0, und den Graphen Gg der Funktion g: g(x) = √ ___ 2x ; Dg = + 0, mithilfe einer Wertetabelle ein. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen Gf und Gg . VI. Für die Glieder einer Wurzelfolge gilt wn + 1 = √ ______ 1 + wn ; n X . a) Wähle w1 = 1, übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie dann dort mithilfe deines Taschenrechners; rechne dabei mit voller TR-Genauigkeit und notiere die Ergebnisse mit 4 Dezimalen. b) Wähle für w1 eine beliebige andere Zahl aus + und gehe dann wie bei Teilaufgabe a) vor. Was fällt dir auf? c) Vergleiche deine Ergebnisse von a) und b) mit dem Teilverhältnis des Goldenen Schnitts. = + )( Name Anzahl der Punkte Turniere Spiele Lizzy 329 6 54 James 235 4 29 Siri 314 5 24 Franz 293 4 48 n wn 1 1,0000 2 1,4142 3 1,5538 4 5 6 7 8 9 10 explore – get more Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei g nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs