119Finanzmathematik 5. Lauras Vater möchte 12 000 f für sechs Jahre anlegen. Finde das günstigste Angebot heraus. 6. Es heißt, der Holländer Peter Minuit habe im Jahr 1626 die Insel, auf der heute der New Yorker Stadtteil Manhattan steht, von Indianern für 24 $ erworben. a) Berechne, auf welchen Geldbetrag Minuits Guthaben bis heute angewachsen wäre, wenn er damals 24 $ bei einer Bank zum gleichbleibenden Zinssatz von 6% p.a. angelegt und diese die Zinsen jeweils am Jahresende zum Guthaben geschlagen und dann mitverzinst hätte. b) Informiere dich über die aktuellen Grundstückspreise in Manhattan. Vielfach wird Vermögen dadurch angespart, dass z. B. monatlich oder vierteljährlich jeweils ein fester Betrag auf ein Sparkonto, in einen Investmentfonds usw. eingezahlt wird. Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabständen (z. B. jährlich oder monatlich) und jeweils gleicher Höhe geleistet werden, werden als Renten bezeichnet. Deswegen spricht man in diesem Zusammenhang auch von „Rentenrechnung“. Den Endwert Rn von n Raten in Höhe von je r f, die jeweils am Ende der 1., 2., … n-ten Zinsperiode bezahlt werden, erhält man, indem man jede der n Raten auf das Ende der letzten Periode aufzinst (vgl. die Abbildung) und dann die aufgezinsten Raten aufaddiert. Rn = r + rq + rq 2 + rq3 + ... + rqn – 1 = r(1 + q + q2 + q3 + ... + qn – 1) = r · qn – 1 ______ q – 1 ; q 1 Hinweis: Den für q 1 geltenden Zusammenhang 1 + q + q2 + q3 + ... + qn – 1 = qn – 1 _____ q – 1 kann man durch geschicktes Umformen fi nden: (1 + q + q2 + q3 + ... + qn – 1) + qn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + ... + qn – 1) S S Also gilt (für q 1) S + qn = 1 + q · S; S · (q – 1) = qn – 1; S = qn – 1 _____ q – 1 Dieses Ergebnis bezeichnet man als Summenformel der geometrischen Reihe. Beispiel: Spart Herr Riehn zehn Jahre lang jährlich einen Betrag von 1 200 f, so beträgt bei einer Verzinsung jeweils zum Jahresende in Höhe von 6% sein Endkapital R10 = 1 200 f · 1,0610 – 1 ________ 1,06 – 1 ≈ 15 816,95 f. Würde er stattdessen zehn Jahre lang monatlich 100 f sparen und die Bank jeweils zum Quartalsende 1,5% Zinsen verrechnen, so würde sein Endkapital R40 = 300 f · 1,01540 – 1 _________ 1,015 – 1 ≈ 16 280,37 f betragen. 7. Gregor spart für seinen Führerschein drei Jahre lang monatlich 30 f. Die Verzinsung erfolgt jeweils am Monatsende mit einem monatlichen Aufzinsungsfaktor q = 12 √ ______ 1,045 ≈ 1,003675, der einem Zinssatz von 4,5% p. a. entspricht. Finde heraus, wie viel Gregor am Ende dieser drei Jahre zusätzlich von seinem zweiten Sparbuch abheben muss, um die Kosten des Führerscheins von 1 600 f selbst fi nanzieren zu können. r 0 r r r r 1 2 3 (n – 2) (n – 1) n Perioden R0 Rn r · qn–1 r · qn–2 r · qn–3 r · q2 r · q r letzte Rate vorletzte Rate erste Rate Standard-Bank Zinssatz: 4,8% p.a. Zinsabrechung jährlich Zinssatz: 3 pro Monat Zinsabrechung monatlich 1 ––– 2 Group-Bank Master-Bank Zinssatz: 2 % pro Halbjahr Zinsabrechung halbjährlich 1 ––– 4 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V rla gs