117Harmonien und Potenzen Töne sind die Grundelemente der Musik. Physikalisch betrachtet entstehen sie durch Schwingungen von Saiten (z. B. Klavier, Geige), von Luftsäulen (z. B. Orgel, Trompete), von Platten (z. B. Xylophon, Glockenspiel) usw. Die Höhe eines Tons wird durch die Frequenz f dieser Schwingungen und damit durch die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit bestimmt. Die Frequenz wird meist in der Einheit Hz (Hertz) angegeben. 1 Hz bedeutet eine Schwingung pro Sekunde: 1 Hz = 1 s– 1. In der Abbildung sind zwei Töne dargestellt: Ton 1: 100 Schwingungen pro Sekunde; f1 = 100 Hz Ton 2: 200 Schwingungen pro Sekunde; f2 = 200 Hz Das Frequenzverhältnis dieser beiden Töne ist f2 : f1 = 2 : 1. Ein Frequenzverhältnis von 2 : 1 bedeutet, dass der höhere Ton (2) in einem Tonabstand (Intervall) von einer Oktave zum tieferen Ton (1) steht. Eine Oktave liegt zum Beispiel zwischen den ersten beiden Tönen des Songs „Somewhere over the rainbow“ von Harold Arlen oder auch des Walzers aus dem „Rosenkavalier“ von Richard Strauss. In der westlichen Musik wird eine Oktave in zwölf Halbtonschritte aufgeteilt. Je nach Stimmung eines Instruments sind die Frequenzverhältnisse der einzelnen Töne zueinander und zum Grundton unterschiedlich. Bei der gleichschwebend temperierten Stimmung haben alle Halbtonintervalle das gleiche Frequenzverhältnis f2 : f1 = 2 1 ___ 12 : 1 = 12 √ __ 2 : 1 ≈ 1,06. Die Tabelle stellt die Töne einer chromatischen (d. h. nach Halbtönen fortschreitenden) Tonleiter und ihre Frequenzverhältnisse (FV) zum Grundton C dar: Um das Frequenzverhältnis zwischen z. B. den Tönen D und G zu berechnen, bildet man den Quotienten der Frequenzverhältnisse zum Grundton C: ƒG ___ ƒD = ƒG ___ ƒC : ƒD ___ ƒC = 2 7 ___ 12 ___ 1 : 2 2 ___ 12 ___ 1 = 2 7 ___ 12 : 2 2 ___ 12 = 2 7 ___ 12 – 2 ___ 12 = 2 5 ___ 12 ≈ 1,33 Also liegt zwischen D und G das gleiche Intervall wie zwischen z. B. C und F. Man bezeichnet dieses Intervall als Quart. 1. Finde heraus, welche der beiden Kurven in obiger Abbildung zum Ton 1 und welche zum Ton 2 gehört. 2. Der Kammerton a’ hat die Frequenz 440 Hz. Berechne die Frequenzen der Töne, die zwei, vier bzw. fünf Halbtöne tiefer liegen, und gib die Namen dieser Töne an. 3. In der reinen Stimmung gibt es das Frequenzverhältnis 3 : 2; es entspricht dem Intervall Quint. Untersuche, welches Frequenzverhältnis der gleichschwebend temperierten Stimmung dem Wert 3 : 2 = 1,5 am nächsten kommt und wie groß die prozentuale Abweichung ist. 4. Das Intervall zwischen C und G wird als Quint bezeichnet (vgl. Aufgabe 3.). Zeige, dass in der gleichschwebend temperierten Stimmung 12 Quinten genau 7 Oktaven ergeben, während dies in der reinen Stimmung nicht (genau) der Fall ist. Gibt es Instrumente mit diesem Tonumfang? Ton C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H FV 2 0 ___ 12 : 1 2 1 ___ 12 : 1 2 2 ___ 12 : 1 2 3 ___ 12 : 1 2 4 ___ 12 : 1 2 5 ___ 12 : 1 2 6 ___ 12 : 1 2 7 ___ 12 : 1 2 8 ___ 12 : 1 2 9 ___ 12 : 1 2 10 ___ 12 : 1 2 11 ___ 12 : 1 –1 0 t in s 1 Auslenkung (z. B. der Saitenmitte) in cm 0,002 0,004 0,0080,006 0,01 Nu r u Pr üf zw ec k n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs