1898.6 Der gerade Kreiskegel Berechne das Volumen und den Oberfl ächeninhalt des abgebildeten geraden Kreiskegels und zeichne ein Kegelmantelnetz. Ermittle rechnerisch die Größe α des Winkels, unter dem jede der Kegelmantellinien gegen die Grundfl äche geneigt ist. Lösung: Volumen: V = 1 __ 3 r2πh= 1 __ 3 · (3 cm)2 · · 4 cm = 12 cm3 ≈ 38 cm3 Länge s jeder Mantellinie: s2 = (3 cm)2 + (4 cm)2 (Satz von Pythagoras) s2 = 25 cm2; s = 5 cm Oberfl ächeninhalt: A = G + M = r2 + r s = (3 cm)2 · + 3 cm · · 5 cm = 9 cm2 + 15 cm2 = 24 cm2 ≈ 75 cm2 Kegelmantelnetz: Das Mantelnetz ist ein Kreissektor, dessen Mittelpunktswinkel die Größe hat und dessen Radiuslänge s = 5 cm ist. ASektor = M; (5 cm)2 · · ___________ 360° = 3 cm · · 5 cm; 25 cm 2 · · ___________ 360° = 15 cm2 · ; | · 360° | : (25 cm2 · ) = 216° Größe α des Neigungswinkels: tan α = 4 __ 3 ; α ≈ 53° Ein kreiskegelförmiger Messbecher ist bis zur Höhe h* = 10 cm mit Wasser gefüllt. Finde heraus, wie viel cm3 Wasser sich im Messbecher befi nden. Lösung: Radiuslänge der Wasseroberfl äche: x _____ 6 cm = 10 cm ______ 15 cm (2. Strahlensatz; V-Figur mit Scheitel S) x _____ 6 cm = 2 __ 3 ; | · 6 cm x = 4 cm Wasservolumen: V* = 1 __ 3 · (4 cm)² · · 10 cm ≈ 168 cm³ (dies ist weniger als ein Drittel des Messbechervolumens!) Die Radiuslänge der Grundfl äche eines 3,00 cm hohen Kreiskegels beträgt 1,50 cm. Berechne das Kegelvolumen, indem du für den Näherungswert a) 3 (Buch der Könige) b) 3,14 (bester Näherungswert mit 2 Dezimalen) c) 3,06770 (Wallis) d) aus deinem Taschenrechner verwendest. Lösung: a) V = 1 __ 3 r2 h ≈ 1 __ 3 · (1,50 cm)2 · 3 · 3,00 cm = 6,75 cm3 b) V = 1 __ 3 r2 h ≈ 1 __ 3 · (1,50 cm)2 · 3,14 · 3,00 cm ≈ 7,07 cm3 c) V = 1 __ 3 r2 h ≈ 1 __ 3 · (1,50 cm)2 · 3,06770 · 3,00 cm ≈ 6,90 cm3 d) V = 1 __ 3 r2 h ≈ 1 __ 3 · (1,50 cm)2 · TR · 3,00 cm ≈ 7,07 cm3 Was haben gerade Kreiskegel und gerade Kreiszylinder miteinander gemeinsam, worin unterscheiden sie sich voneinander? Was haben gerade Kreiskegel und gerade quadratische Pyramiden miteinander gemeinsam, worin unterscheiden sie sich voneinander? Ist ein Bowling-Kegel ein Kegel, ist ein Zylinderhut ein Zylinder, ist ein Stück Würfelzucker ein Würfel im mathematischen Sinn? 216° 5 c m S s 4 cm 3 cm α M = r s ASektor = s2 · ______ 360° S 10 c m 15 c m x 6 cm Beispiele Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs