57Pascaldreieck 5. a) Multipliziere (a + b)4 aus und fi nde heraus, wo im Pascaldreieck die Koeffi zienten der einzelnen Summanden zu fi nden sind. b) Gib mithilfe des Pascaldreiecks die ausmultiplizierte Form von (1) (a + b)5 (2) (a + b)8 (3) (a – b)8 (4) (a – b)12 an. Beschreibe deine Überlegungen bezüglich der Vorzeichen der einzelnen Termglieder bei den Teilaufgaben (3) und (4). 6. Die Abbildung veranschaulicht die ersten neun Dreieckszahlen: Beschreibe das Bildungsgesetz und berechne dann die nächsten fünf Dreieckszahlen. Wo fi nden sich diese Zahlen im Pascaldreieck? 7. Die Abbildung veranschaulicht die ersten vier Tetraederzahlen: a) Beschreibe das Bildungsgesetz und berechne dann die nächsten fünf Tetraederzahlen. Wo fi nden sich diese Zahlen im Pascaldreieck? b) Zeige für die ersten neun Tetraederzahlen, dass die m-te Tetraederzahl gleich 1 __ 6 m(m + 1) (m + 2) (m X ; m 9) ist. 8. Die rechte Abbildung veranschaulicht die binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, die linke Abbildung die binomische Formel (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Gib jeweils an, welches Bild den Term (a + b)2 bzw. den Term (a + b)3 darstellt und welche Bilder die einzelnen Summanden veranschaulichen. 9. Die Zahlen im Pascaldreieck heißen auch Binomialkoeffi zienten, weil sie beim Potenzieren von Binomen als Koeffi zienten auftreten. Man kann die Binomialkoeffi zienten auch ausrechnen, ohne das Pascaldreieck aufzustellen: Die Zahl in Zeile Nummer n auf Platz Nummer k ist der Wert des Terms n! _________ k! · (n – k)! ; n, k X ; k n ; 0! = 1! = 1. Beispiel: n = 10; k = 2 10! __________ 2! · (10 – 2)! = 10! ______ 2! · 8! = 10 · 9 _____ 2 = 45 Überprüfe die Formel anhand von mindestens fünf weiteren Beispielen. Hinweis: Die oberste Zeile hat die Nummer 0, die zweite die Nummer 1 … ; die erste Zahl in jeder Zeile hat die Platznummer 0, die zweite die Platznummer 1 … . Lucas: Kann ich jetzt annehmen, dass die Formel für jede natürliche Zahl stimmt? 45 1 2 1 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei g nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs