139 II Begründe: Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, die … a) geradentreu ist. b) winkeltreu ist. c) kreistreu ist. Lösung: III Begründe, dass die zentrische Streckung verhältnistreu ist. Lösung: Vergleicht man das Längenverhältnis zweier beliebiger Urstrecken [AB] und [CD] mit dem ihrer Bildstrecken [A’B’] und [C’D’], dann gilt: [AB] Z; k [A’B’] ____ A’B’ ____ ___ AB = | k | [CD] Z; k [C’D’] ____ C’D’ ____ ___ CD = | k | Das Längenverhältnis der Bildstrecken ist gleich dem der Urstrecken. Begründe: Wenn M bei einer zentrischen Streckung der Mittelpunkt von [BC] ist, dann ist M’ der Mittelpunkt von [B’C’]. Begründe, warum der Umlaufsinn bei einer zentrischen Streckung gleich bleibt. 1 Lege auf einer Gerade g vier Punkte P, Q, R, S fest. Bilde sie durch die zentrische Streckung ab. Erläutere, welche Eigenschaften jeweils bestätigt werden. a) Z X g; k = –0,5 b) Z x g; k = 2 2 Es gilt: k (M; r) Z; k k’ (M’; r’) mit M (0 | 2), r = 2 cm und Z (0 | –1). 1 k = 4 __ 3 2 k = 2 __ 3 3 k = 1,5 a) Berechne r’ sowie den Flächeninhalt von Urkreis und Bildkreis. b) Zeichne die Abbildung in dein Heft. 3 a) Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und bilde es unter ΔABC C; –1,5 ΔA’B’C’ ab. b) Zeige, dass die Seitenmittelpunkte von ΔABC auf diejenigen von ΔA’B’C’ abgebildet werden. a) Bildet man Punkte einer Gerade ab, die nicht durch Z verläuft, dann liegen alle Bildpunkte wieder auf einer Gerade. Diese verläuft zur Urgerade parallel. Geraden durch Z werden auf sich abgebildet. b) Zwei Geraden schneiden sich unter einem Winkel mit dem Maß α. Da die Bildgeraden zu den Urgeraden pa rallel verlaufen, müssen sie sich ebenfalls unter diesem Winkelmaß schneiden: α = α’. c) Der Mittelpunkt M eines Kreises wird auf M’ abgebildet. Alle Radien r des Ur kreises werden im gleichen Verhältnis | k | gestreckt. Also sind alle Bildpunkte des Urkreises von M’ gleich weit entfernt. Sie liegen auf einem Kreis um M mit r’ = | k | · r ____ A’B’ ____ ___ AB = ____ C’D’ ____ ___ CD ____ A’B’ ____ ____ C’D’ = ___ AB ___ ___ CD g g’ Z Z r M r’ M’ P P’ Z α α’ Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs