112 4.2 Geometrische Berechnungen 19 a) Berechne den Oberfl ächeninhalt der rechteckigen Pyramide . 20 Zur Ermittlung von Sternentfernungen nutzt man in der Astronomie die Formel m – M = 5 · lg r – 5. Dabei stehen m und M für die scheinbare und die absolute Helligkeit des Sterns und r für seinen Abstand zur Erde. Entscheide, welche der Umformungen richtig ist. Begründe deine Entscheidung. 1 r = 10 m – M + 5 ________5 2 r = lg m – M + 5 ________5 3 r = m – M + 5 ________5 · 10 5 4 r = (m – M + 5)10 21 In den Mauern mittelalterlicher Burganlagen sind die „Fenster“ recht eigenartig gebaut. Innen sehr breit, von außen dagegen nur ganz schmale Spalten. Dies sollte ein Abfeuern der Waffen auf Angreifer erleichtern und gleichzeitig das Treffen von außen erschweren. In einer Burgmauer mit einer Dicke von 80 cm sind die Öffnungen innen 1 m und außen 30 cm breit und jeweils 4,5 m (Mitte bis Mitte gemessen) voneinander entfernt. Die Grafi k zeigt den Blick von oben, ein etwaiger Höhenunterschied zwischen Angreifer und Verteidiger soll dabei nicht beachtet werden. a) Zeichne im Maßstab 1 : 50 den Grundriss einer Mauer der Burganlage mit zwei Fenstern. b) Berechne den „Sichtwinkel“ α, den die Mauern freigeben, wenn der Angreifer sich in der abgebildeten Position befi ndet. Überprüfe anhand der Zeichnung. c) Die Verteidiger schießen ihre Salven von den rot markierten Linien aus ab. Trage in die Zeichnung aus a) für beide Fenster einige mögliche Schusslinien ein und markiere den durch sie nicht erfassbaren Bereich außerhalb der Burg. d) Ermittle rechnerisch, wie weit sich ein Feind der Mauer nähern müsste, um in den für ihn relativ sicheren Bereich aus c) vor der Mauer zu gelangen. 22 Luca hat zwei Tennisbälle unterschiedlicher Größe. Der Umfang des kleinen Balls beträgt 21 cm und das Volumen des großen Balls 7421 cm3. Maria sagt zu Luca: „Der kleine Ball steht im Maßstab 1 : 3 zum großen Ball.“ Überprüfe Marias Aussage. 110 cm 90 cm 100 cm D B 7,2 cm A 5, 8 cm E C 4,3 cm 110° α Verteidiger (innen)Verteidiger (innen) Angreifer (außen) b) In der abgebildeten Figur gilt: ___ BD || ___ CE . Berechne die Länge der Strecke ___ CE. Mathematische Modellierung bedeutet, eine reale Fragestellung in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Dabei geht man von bestimmten Annahmen aus und versucht, das Problem mithilfe dieser Annahmen zu lösen. Anschließend prüft man, ob die Ergebnisse zum realen Sachverhalt passen. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn V er la gs