37° A Ac c b ba a B B C C 37° t α β s u Hypotenuse Kathete Kathete 6 Wie ändert sich der Wert des Sinus (Kosinus) eines Winkels, wenn sich bei ähnlichen Dreiecken die Länge aller Seiten verdoppelt, verdreifacht, … Begründe: Der Sinuswert eines Winkels kann nie größer als 1 werden. 1.1 Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch die Größe der beiden spitzen Winkel des Dreiecks festgelegt. Bezogen auf die spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks bezeichnet man diejenige Kathete, die dem betrachteten Winkel gegenüber liegt, als Gegenkathete und diejenige, die an dem Winkel anliegt, als Ankathete. Das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zu Hypotenuse eines spitzen Winkels α nennt man Sinus des Winkels α (kurz: sin α): Sinus des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Hypotenuse Beispiel: sin α = a __ c ; sin β = b __ c Das Verhältnis der Längen von Ankathete zu Hypotenuse eines spitzen Winkels α nennt man Kosinus des Winkels α (kurz: cos α): Kosinus des Winkels = Ankathete des Winkels _________________ Hypotenuse Beispiel: cos α = b __ c ; cos β = a __ c • Zeichne mindestens drei rechtwinklige Dreiecke ABC mit γ = 90° und α = 37°. • Begründe, dass die gezeichneten Dreiecke alle ähnlich zueinander sind. • Untersuche an den Dreiecken die Seitenverhältnisse a __ c ( b __ c ) . Begründe Zusammenhänge, die du entdeckst. • Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke ABC mit γ = 90° und α = 25° (α = 60°). Beschreibe, wie sich der Wert des Quotienten a __ c ( b __ c ) mit der Größe von α ändert (z. B. „Wenn α größer wird, dann wird der Quotient a __ c …“). I Gib als Verhältnis der Seitenlängen an. a) sin α b) sin β c) cos α d) cos β Lösung: a) sin α = s __ u b) sin β = t __ u c) cos α = t __ u d) cos β = s __ u sin α sprich: „Sinus von α“ oder „Sinus α“ Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck: cos α sprich: „Kosinus von α“ oder „Kosinus α“ Beispiel für γ = 90°: A b α β a c Hypotenuse Gegenkathete von αAnkathete von α Gegenkathete von β Ankathete von β B C Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn r V er la gs