8 % 100 m 8 m 3,6 cm 7,7 cm β α 8 1.2 Tangens im rechtwinkligen Dreieck Steigungen und Gefälle kommen in verschiedenen Situationen im Alltag vor. Sie werden in Prozent oder durch Winkelmaße angegeben. • Erkläre, was man unter einer Steigung in Grad bzw. in Prozent versteht. • Zeichne passende Dreiecke und miss den zugehörigen Steigungswinkel. Steigung 10 % 25 % 50 % 60 % 80 % Winkel I Berechne α und β mit dem Taschenrechner. Lösung: tan α = 3,6 cm ______7,7 cm = 36 ___ 77 α 25° tan β = 7,7 cm ______3,6 cm = 77 ___ 36 β 65° tan α sprich: „Tangens von α“ oder „Tangens α“ Erinnere dich: Taschenrechner: Tangens: tan Den Winkel kannst du mit der Taschenrechnerfunktion tan–1 berechnen. Leichte Abfahrten haben ein Gefälle von 3° bis 15°. Bei der Tour de France müssen die Radprofi s teils 15 % Steigung bewältigen. Gute Geländewagen schaffen Steigungen bis zu 100 %. Begründe, dass der Tangenswert eines Winkels größer als 1 werden kann. Erkläre, um welches Dreieck es sich handelt, wenn der Tangens den Wert 1 annimmt. Steigungsdreiecke an einer Gerade sind alle zueinander ähnlich. Deshalb ist das Verhältnis der Gegen kathete zur Ankathete des Steigungswinkels α stets gleich: Anstieg m = 4 __ 6 = 2 __ 3 = … In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zu An kathete eines spitzen Winkels als Tangens, kurz tan: Tangens des Winkels = Gegenkathete des Winkels ____________________ Ankathete des Winkels Beispiel für γ = 90°: tan α = a __ b tan β = b __ a 1 y x 5 2 3 4 1 2 3 4 3 α 5 6 2 6 4 α A b α β a c Hypotenuse Gegenkathete von αAnkathete von α Gegenkathete von β Ankathete von β B C 8 % = 8 ____ 100 bedeutet 8 Höhenmeter auf 100 m „in der Ebene“. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs