66 12 Bewegungen im Gravitationsfeld 12 Bewegungen im Gravitationsfeld 12.1 Potenzielle Energie Die potenzielle Energie Wpot, welche eine Masse m im Gravitationsfeld einer Masse M hat, entspricht der Hubarbeit, die man verrichten muss, um m vom Ausgangspunkt (Abstand r0 von M) bis zum Endpunkt (Abstand r von M) zu bringen (Abb. 12.1). Damit lässt sich die potenzielle Energie berechnen: W F x x G M m x xr r r r pot d d = = ∫∫ =( ) · · · 2 00 G M m x G M m r r r r · · · · · ·−     = − 1 1 1 0 0     Es ist vernünftig, den Bezugspunkt ins Unendliche zu verlegen (r0 → ∞), also: W G m M rpot = − · · 12.2 Kreisund Ellipsen bahnen In seinem berühmten Werk Philosophiae naturalis principia mathematica (1686) stellt Newton die Frage, was geschieht, wenn man von einer Bergspitze (Abstand r vom Erdmittelpunkt) eine Kugel der Masse m mehrmals hintereinander waagrecht abschießt und dabei die Geschwindigkeit der Kugel von Mal zu Mal erhöht. Offensichtlich trifft sie immer weiter vom Abschusspunkt entfernt auf die Erdoberläche, bis sie irgendwann einmal eine Kreisbahn beschreibt (Abb. 12.2). Welche Abschussgeschwindigkeit v muss sie in diesem Fall haben? FZ = FG m v r G m m r v G m r E E· · · · 2 2 = ⇒ = Setzt man hier für r den Erdradius ein, berechnet also den Schuss von der Erdoberläche aus um eine ideal gedachte Erdkugel, so erhält man die gesuchte, sogenannte 1. kosmische Geschwindigkeit: 1. kosmische Geschwindigkeit v1 = 7,9 km/s = 28 · 10 3 km/h Abb. 12.2 E Eine Fallbewegung auf der Erdoberläche und die Mondbewegung um die Erde erfolgen nach den gleichen Gesetzen: Irdische und himmlische Physik werden bei Newton identisch, nachdem sie seit Aristoteles getrennt waren. Das ist eine von Newtons großen revolutionären Leistungen. Abb. 12.1 E Hubarbeit Wpot M m r r0 E Aufgabe 1 Begründen Sie mithilfe des Energieerhaltungssatzes, dass diese Hubarbeit Wpot vom Weg unabhängig ist. N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n tu m d e s C .C . B u c h n e r V e rl a g s