64 11 Computersimulation von Keplerbahnen 11 Computersimulation von Keplerbahnen Im Rahmen der Schulmathematik lässt sich die Bewegung von Himmelskörpern allenfalls noch für den Fall bestimmen, dass sich zwei Massen näherungsweise auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Ein Beispiel hierfür ist etwa die Bewegung eines Planeten um die Sonne. Erst der Computer macht uns die allgemeinen Bahnen zugänglich, welche zwei beliebige Himmelskörper unter dem Einluss der Schwerkraft beschreiben (Zweikörperproblem, Abb. 11.1). Dazu wird die Bahn kurve nicht insgesamt berechnet, sondern von einem Zeitpunkt zu einem späteren Zeitpunkt fortschreitend (Methode der kleinen Schritte). Man beginnt mit den Ausgangswerten der Koordinaten für den Ort r k1 ( ) und für die Geschwindigkeit v k1 ( ) der beiden Körper (k = 1 bzw. k = 2) mit den Massen M1 und M2. Sodann werden die Koordinaten der Gravitationsbeschleunigungen a k1 ( ), welche die beiden Massen erfahren, berechnet: a G M R r 1 2 3 1 1 ( ) · ·= − a G M R r 1 1 3 1 2 ( ) · ·= mit r r r R r1 1 1 11 2 = − =( ) ( ) und Jetzt werden nacheinander die Geschwindigkeiten v k2 ( ) und die Orte r k 2 ( ) berechnet, welche die Massen zu einer kleinen Zeitspanne dT später haben. Vorausgesetzt wird, dass die Bewegung während dT gleichförmig erfolgt. Abb. 11.1 E Zweikörperproblem M1 M2 O r1(1) r1(2) r1 = r1 (1) – r1 (2) Die Fehler, die man bei diesem Vorgehen macht, werden geringer, wenn man mit Mittelwerten v km ( ) für die Geschwindigkeiten und a km ( ) für die Beschleunigungen während der Zeitspanne dT rechnet. Die Abb. 11.2 ist ein Flussdiagramm für das beschriebene Programm. In Abb. 11.3 bis 11.5 sind mit diesem Programm berechnete Bahnkurven ausgedruckt. Die Massen wurden dabei als Vielfaches der Sonnenmasse, die Zeiten in Jahren und die Entfernungen in AE gemessen. Die Maßzahl der Gravitationskonstanten G hat dann etwa den Wert 40. Das angegebene Verfahren lässt sich selbstverständlich auch auf mehr als zwei Himmelskörper erweitern, womit dann etwa der Flug von Raumsonden von der Erde zum Mond oder zu anderen Planeten simuliert werden kann. N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n tu m d s C .C . B u c h n e r V e rl a g