62 10 Bestimmung von Massen und Bahnparametern 10.4 Allgemeine Form des 3. Keplergesetzes Bei der Bewegung eines Planeten um die Sonne bzw. bei der Bewegung eines Mondes um seinen Planeten ist die Zentralkraft jeweils die Gravitationskraft des Zentralgestirns der Masse mZ auf den Trabanten der Masse m im Abstand r : m T r G m m r T r Z· · · ·4 2 2 2 2 3 pi = ⇒ = = 4 2pi G m C Z · Damit haben wir das 3. Keplergesetz aus dem Gravitationsgesetz hergeleitet, wobei sich noch ergeben hat, dass die Konstante C im Keplergesetz dargestellt werden kann als: C G m = 4 2pi Z · Das bedeutet aber, dass das 3. Keplergesetz nicht nur auf die Bewegung der Planeten um die Sonne, sondern auf jede Zentralbewegung angewendet werden kann – lediglich die Konstante C ist dann jeweils eine andere. So gilt etwa für die Bewegung des Erdmondes um die Erde: m G r T E = 4 2 3 2 pi · Mit der siderischen Umlaufdauer T = 27,32 d des Erdmondes und einem mittleren Abstand Mond – Erde von r = 384,4 · 103 km ergibt sich daraus eine Erdmasse von mE = 6,03 · 10 24 kg. Dieser Wert stimmt nicht mit der Erdmasse überein, wie wir sie oben berechnet hatten. Das liegt u. a. daran, dass eine Voraussetzung, die bei der Ableitung des 3. Keplergesetzes gemacht wurde, nicht erfüllt ist. Der Mond umkreist nicht die ruhende Erde, sondern beide umkreisen den gemeinsamen Schwerpunkt. Für den allgemeineren Fall, dass zwei Massen m1 und m2 den gemeinsamen Schwerpunkt S unter der Wirkung der Gravitationskraft auf Kreisbahnen umlaufen, soll das 3. Keplergesetz jetzt noch einmal hergeleitet werden (Abb. 10.7) Die Zentralkräfte auf die beiden Massen sind betragsgleich, also: m r m r 1 1 2 2 · · · · 1 2 2 2ω ω= Abb. 10.7 E Bewegung zweier Massen m1 und m2 um den gemeinsamen Schwerpunkt S. Eingezeichnet sind ihre Positionen zu drei Zeitpunkten. 11 r1 r2 m1m2 S 2 2 3 3 Mit ω1 = ω2 = ω (Winkelgeschwindigkeit) folgt daraus: m1 · r1 = m2 · r2 (Schwerpunktsatz) Der Abstand der beiden Massen ist stets: r = r1 + r2 Damit wird aus dem Schwerpunktsatz: m1 · r1 = m2 · (r – r1) ⇒ (m1 + m2) · r1 = m2 · r Die Zentralkraft ist die Gravitationskraft, also gilt: G m m r m r m m m m · · · · · 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 = = + ⋅ω ω · r ⇒ G · (m1 + m2) = ω 2 · r3 Mit ω = 2pi T ergibt sich weiter: G m m T r· ( ) · 1 2 2 2 34+ = pi Damit haben wir das 3. Keplergesetz in seiner allgemeinen Gestalt erhalten: (K3) Allgemeine Form T r G m m 2 3 2 1 2 4 = + pi · ( ) N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n t m d e s C .C . B u c h n e r V e rl a g s