60 Bestimmung von Massen und Bahnparametern10 F G m m r = · ·1 2 2 Damit haben wir das Newton’sche Gravitationsgesetz gefunden. Die Gravitationskonstante G lässt sich mit einem hochempindlichen Kraftmesser (z. B. Gravitationsdrehwaage) aus der gemessenen Kraft zwischen bekannten Massen mit ebenfalls bekanntem Abstand experimentell bestimmen. Sie hat folgenden außerordentlich geringen Wert: G = 6,6738 · 10–11 m3 kg–1 s–2 Wegen der geringen Größe von G ist auch die Gravitationskraft bei „normalen“ Massen und Abständen sehr klein. Das wird besonders deutlich, wenn man sie mit der gleich strukturierten Coulombkraft vergleicht: F = 1 4piε0 Q1 ⋅ Q2 r2 ≈ 1010 ⋅ C −1 ⋅ V ⋅ m ⋅ Q1 ⋅ Q2 r2 · · · ·· · · Dennoch bestimmt die Gravitationskraft den Aufbau des Universums im Großen, während die Coulombkraft das für den atomaren Bereich tut. Das liegt natürlich daran, dass Ladungen verschiedener Vorzeichen sich aufheben können, was bei der Gravitationskraft nicht möglich ist. 10.3.1 Bestimmung der Erdmasse Mithilfe der Newton’schen Gravitationskonstante lässt sich nun auch die Erdmasse berechnen. Eine Masse m umkreise den Erdäquator unmittelbar über der Erdoberläche, die dabei als vollkommen ideale Kugel gedacht sei. Die notwendige Zentralkraft ist die Gravitationskraft der im Erdmittelpunkt vereinigt gedachten Erdmasse mE auf die Masse m im Abstand RE. Diese Kraft stimmt überein mit der Gewichtskraft m · g der Masse m: m g G m m R m g G RE E E E · · · ·= ⇒ = = 2 2 5, ·97 1024 kg Erdmasse mE = 5,974 · 10 24 kg Wir können Newtons Überlegungen zur Entdeckung der allgemeinen Gravitation und des Gravitationsgesetzes nachvollziehen, indem wir davon ausgehen, dass sich eine Masse m1 auf einer Kreisbahn mit Radius r gleichförmig (Umlaufdauer T ) um eine ortsfeste Masse m2 bewegt. Für die dazu notwendige Zentralkraft leitet man im Rahmen der Newton’schen Mechanik her: F m T r= 1 2 2 4 · · pi (1) Mit dem 3. Keplergesetz folgt daraus: F m C r F m r = 1 2 2 1 2 4 1 bzw.· · ~ pi (2) Lassen wir jetzt in einem Gedankenexperiment m1 = 1 kg Mondmaterie im Abstand Erde – Mond = r ≈ 384,4 · 103 km in der Zeit T = 27,32 d (siderische Umlaufdauer des Mondes) um die Erde (Masse m2) kreisen, so ist dafür nach Formel (1) eine Zentralkraft F = 2,72 · 10–3 N notwendig. Lassen wir sodann diese Masse in Gedanken im Abstand RE um den Erdmittelpunkt kreisen, so ist dazu nach (2) eine 602-fache Kraft von 9,81 N notwendig, also die bekannte Erdanziehungskraft auf die Masse 1 kg. Eine derartige Überlegung motiviert zu der Aussage: Die gleiche Kraft, die den Mond auf seiner Bahn um die Erde hält, ist es auch, die z. B. den Apfel vom Baum zum Boden fallen lässt. Von dieser Erkenntnis ist es dann nicht mehr so weit zu Newtons kühner Verallgemeinerung: Allgemeine Gravitation Alle Körper ziehen sich nur aufgrund der Tat sache, dass sie eine Masse haben, gegenseitig an. Die Zentralkraft nach (2) ist die Gravitationskraft der Masse m2 auf die Masse m1. Nach dem Newton’schen Axiom „actio = reactio“ muss dann aber auch die Masse m1 die Masse m2 anziehen mit einer Kraft, die proportional zu m2 ist: F m r ~ 1 2 für m2 konstant und F ~ m2 für m1 und r konstant ⇒ F m m r ~ · 1 2 2 bzw. N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n t m d e s C .C . B u c h n e r V e rl a g s