Originalprüfung Nordrhein-Westfalen Abitur 2016 Lösungen Abitur 2016, Aufgabe 1 a) (1) f (0) = 4− 2 · 0− 4 · e−5·0 = 4− 4 · 1 = 0 =⇒ Schnittpunkt (0|0). (2) EXTREMA U¨BERMONOTONIE: Abi023 f (x) = 4− 2x − 4 · e−5x =⇒ f ′(x) = −2− 4 · e−5x · (−5) = −2 + 20 · e−5x f ′(x) = 0⇐⇒ −2 + 20 · e−5x = 0 ⇐⇒ 20e−5x = 2 ⇐⇒ e−5x = 0,1 ⇐⇒ −5x = ln(0,1) = − ln(10) ⇐⇒ x = 0,2 ln(10) Dem abgebildeten Verlauf des Graphen ist zu entnehmen, dass dies nur die Maximalstelle xE sein kann. b) (1) SPIEGELUNG: Abi005 Da die Exponentialfunktion x 7−→ ex streng monoton steigt, fällt die an der y -Achse gespiegelte Funktion x 7−→ e−x monoton. Diese wird in x-Richtung gestaucht und in y -Richtung gestreckt und schließlich nach unten verschoben, um x 7−→ −2 + 20 · e−5x zu erhalten. Dabei ändert sich nichts am Monotonieverhalten, d. h. auch f ′ ist streng monoton fallend. MONOTONIE: Abi019 erste alternative Begründung: f ′′(x) = 20 · e−5x · (−5) = −100e−5x >0 < 0 für alle x ∈ R =⇒ f ′ fällt auf ganz R streng monoton. zweite alternative Begründung: Der abgebildete Graph ist durchgehend rechtsgekrümmt, denn die zunächst positive Steigung wird bis zum Hochpunkt immer geringer und danach fällt die Kurve immer steiler ab. Somit wird die Steigung immer kleiner, d. h. f ′(x) fällt streng monoton. (2) x < xE xE x > xE f ′(x) f (x) + 0 − strengstreng monoton wachsend streng monoton fallend (3) Auf dem Intervall ]−∞ ; xE [ ist f streng monoton wachsend, kann also dort höchstens eine Nullstelle haben. Bei x = xE ist f (x) 6= 0 und auf der restlichen Zahlengerade ]xE ;∞[ ist f streng monoton fallend und kann dort daher höchstens eine weitere Nullstelle haben. Somit kommen insgesamt höchstens zwei Nullstellen in Frage. 97 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs