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Das ist DER ABITRAINER Mathematik Aufbau des Buchs Tipps zur Prüfung Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg FAQs zur Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg Wie ist die Prüfung aufgebaut? Die Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg gliedert sich in einen Pﬂichtteil und einen Wahlteil. Geprüft werden die Sachgebiete Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Was erwartet mich im Pﬂichtteil? Basistechniken Trainieren Sie die Basistechnikenin allen drei Inhaltsfeldern. DerGrundwissenteil in diesem Buch lie-fert einen guten Überblick über diewichtigsten Themen und über das,was Sie auswendig können sollten. Tipp Der Pﬂichtteil ist der hilfsmittelfreie Teil der Prüfung. Das heißt, hier dürfen Sie weder GTR noch Merkhilfe verwenden. Die hier enthaltenen Aufgaben beziehen sich auf alle drei Sachgebiete und fragen hauptsächlich grundlegende Kenntnisse und Basiskompetenzen ab. Der Pﬂichtteil wird aus kleineren, voneinander unabhängigen Aufgaben aus Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik bestehen. Im Pﬂichtteil können 20 VP erzielt werden. Wie sieht der Wahlteil aus? Original-PrüfungsaufgabenÜben Sie anhand der Original-Prüfungsaufgaben im Buch verschie-dene Aufgabentypen und versuchenSie, die Muster hinter bestimmtenFormulierungen zu erkennen. Trai-nieren Sie den Umgang mit Opera-toren und verbinden Sie konkreteLösungsstrategien damit. Tipp Ihr Lehrer erhält hier zu jedem der drei Sachgebiete zwei Aufgaben (A und B). Er wählt aus jedem Sachgebiet jeweils eine Aufgabe zur Bearbeitung aus. Neu ist seit 2017 die stärkere Gewichtung des Stochastik-Teils. Dieser wird jetzt in einem eigenen Wahlteil behandelt und erfährt durch die Ausweitung auf 10 VP eine höhere Gewichtung. ImWahlteil werden komplexere Zusammenhänge abgefragt, bei denen Sie Gelerntes kombinieren und auf verschiedene Sachund Anwendungssituationen übertragen müssen. Die Aufgaben bestehen aus mehreren Teilaufgaben, die oft aufeinander aufbauen. Wie läuft die Prüfung ab? Aufgabenstellungen gründlichuntersuchen Gerade im Wahlteil, wo mit länge-ren Aufgabenstellungen zu rech-nen ist, kann es helfen, Operatoren,Schlagwörter und Größen zu mar-kieren. So ﬁltern Sie wesentlicheInformationen heraus und habenrelevante Angaben immer schnellparat. Die Aufgaben-Markups derAbimap 2017 geben hierfür wertvol-le Anhaltspunkte. Tipp Für die Bearbeitung der Abituraufgaben haben Sie insgesamt 270 Minuten Zeit. Sie erhalten zu Beginn der Prüfung sowohl die Aufgaben des Pﬂichtteils als auch die drei von Ihrem Fachlehrer ausgewählten Aufgaben des Wahlteils. Zunächst bearbeiten Sie den Pﬂichtteil ohne Hilfsmittel. Nachdem Sie diesen abgegeben haben, erhalten Sie die zugelassenen Hilfsmittel und bearbeiten die drei Wahlteil-Aufgaben. Wie viele Punkte kann ich erzielen? Die folgenden Tabellen zeigen die Bepunktung bezogen auf die drei Sachgebiete der Abiturprüfung in Baden-Württemberg. Pﬂichtteil Sachgebiet Verrechnungspunkte Analysis ca. 10 VP Analytische Geometrie ca. 8 VP Stochastik ca. 2 VP insgesamt 20 VP Wahlteil Sachgebiet Verrechnungspunkte Analysis 20 VP Analytische Geometrie 10 VP Stochastik 10 VP insgesamt 40 VP 6 • Informationen zum Ablauf und zu den wichtigsten Inhalten • Erklärung relevanter Operatoren mit Praxisbeispielen • konkrete Tipps zur Vorbereitung auf die Prüfung Abimaps 2017 – anschaulich aufbereiteteOriginal-Prüfung mit Schritt-für-Schritt-Lösung Abimaps Baden-Württemberg Abitur 2017Integral berechnen: BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Stammfunktion von 2 x2 = 2x−2: 2 · 1−1x −1 = −2 x 2∫ 1 f (x) dx = 2∫ 1 2 x2 dx = [ −2 x ]2 1 = −1− (−2) = 1 =⇒ Die markierte Fläche beträgt 2 + 1 = 3 Flächeneinheiten. 44P Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. (1) Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle. EXTREMA U¨BERMONOTONIE: Abi023 f ′(x) = 0 =⇒ G f hat bei x eine waagerechte Tangente, also Extremoder Terrassenpunkt (2) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle. d. h. Ableitung hat Nullstelle mit Vorzeichenwechsel Lösung: (1) Die Funktion x 7−→ x3 besitzt keine Extremstelle (sie ist streng monoton wachsend), aber ihre Ableitung hat eine Nullstelle bei x = 0. Die Aussage ist also falsch. (2) Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und jede solche Funktion hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, liegt eine Extremstelle der Funktion vor. Also ist die Aussage wahr. 1 20 1 2 x y ∞ −∞ Nullstelle mit Vorzeichenwechsel VERANSCHAULICHUNG DER ABLEITUNG Wenn die Funktionswerte irgendwo positiv und irgendwo anders negativ sind, dann muss dazwischen ein Vorzeichenwechsel erfolgen. 54,5P Gegeben sind die Ebenen E : x1 + 3x2 = 6 und F : x − 25 3  ·  20 −1  = 0. a) Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. 11 • Aufgaben-Markups, die wichtige Begriﬄichkeiten und Operatoren der Aufgabenstellung erklären • ausführliche Musterlösungen, mit denen Sie die Lösungswege Schritt für Schritt nachvollziehen • QR-Codes bzw. Mediencodes, die direkt zu den passenden Erklärvideos führen • anschauliche Graphiken, die Zusammenhänge visuell aufbereiten • Verbindungspfeile, die eine Beziehung zwischen den Lösungsschritten herstellen Original-Prüfungsaufgaben 2015–2017 – Training derrealen Prüfungssituation Originalprüfung Baden-Württemberg Abitur 2015 Aufgabe 8 a) Bei jedem Drehen gibt es zwei Ausgänge: „Rot wird angezeigt“ und „Rot wird nicht angezeigt“, wobei ersteres stets mit derselben Wahrscheinlichkeit p = 20% eintritt. X ist somit binomialverteilt. b) GEGENEREIGNIS: Abi113 P(X > 3) = 1− (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) = 1− (0,01 + 0,06 + 0,14) = 1− 0,21 = 0,79 c) ERWARTUNGSWERT: Abi126 Aus der Tabelle geht hervor, dass P(X = 4) = 0,22 die größte Wahrscheinlichkeit der Verteilung ist, also ist k = 4 die nächstliegende natürliche Zahl zu E (X ) = n · p. Für n = 20 gilt E (X ) = n · p = 20 · 0,2 = 4, also ist das der passende Wert für n. Aufgabe 9 DREHKO¨RPER: Abi144 Der Abschnitt der Gerade g mit der Gleichung y = 4− 12x zwischen x = 0 und x = 4 wird um die x-Achse rotiert und beschreibt so die Mantelfläche eines Kegelstumpfs: 43 • Original-Aufgaben 2015 bis 2017 • Tipps zum Lösungsweg • Musterlösungen entsprechend der Prüfungsanforderungen Grundwissen – gezieltes Wiederholen wichtigerKompetenzen Grundwissen Analysis GrundwissenBestimmte Integrale Darum geht’s BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Anders als das unbestimmte Integral, das die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion angibt, ist das bestimmte Integral ein Zahlenwert, da hier zusätzlich Integrationsgrenzen angegeben werden. Typische Aufgaben im Abitur Das Integral besteht im Wesentli-chen aus drei Bestandteilen, dieSie aus der Aufgabenstellung ent-nehmen (oder z. T. extra berechnenmüssen): 1. einem Integranden f (x), 2. einer unteren Integrations-grenze a, 3. einer oberen Integrations-grenze b. Tipp Aufgaben zu bestimmten Integralen erkennen Sie daran, dass ein Funktionsterm vorgegeben ist und eine Fläche berechnet werden soll. Die Lösung besteht dann darin, ein geeignetes Integral aufzustellen und zu berechnen, das im Allgemeinen so aussieht: b∫ a f (x) dx Graﬁsche Bedeutung des bestimmten Integrals Anschaulich beschreibt das obige Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von f und der x-Achse (Fläche oberhalb der x-Achse minus Fläche unterhalb der x-Achse), und zwar nur im Bereich zwischen den vertikalen Begrenzungslinien x = a und x = b. x y Gf x = a x = b Bestimmte Integrale lassen sich in 3Schritten berechnen: Schritt 1: Stammfunktion desIntegranden bestimmen Schritt 2: Integrationsgrenzen inStammfunktion einsetzen Schritt 3: Differenz bilden So funktioniert’s Das Wichtigste zum Auswendiglernen F ist eine Stammfunktion von f . INTEGRATIONSREGELN: Abi035 TippAllgemeine Berechnungsformel für bestimmte Integrale b∫ a f (x) dx = F(b)− F(a) Kurzschreibweise für F(b)− F(a): [F(x)]ba 113 • relevante Themen aus Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik • typische Abituraufgaben und Sachzusammenhänge • Kurzanleitungen („So funktioniert’s“) • wertvolle Tipps und Tricks • das Wichtigste zum Auswendiglernen 5 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs

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Das ist DER ABITRAINER Mathematik Aufbau des Buchs Tipps zur Prüfung Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg FAQs zur Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg Wie ist die Prüfung aufgebaut? Die Abiturprüfung Mathematik in Baden-Württemberg gliedert sich in einen Pﬂichtteil und einen Wahlteil. Geprüft werden die Sachgebiete Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Was erwartet mich im Pﬂichtteil? Basistechniken Trainieren Sie die Basistechnikenin allen drei Inhaltsfeldern. DerGrundwissenteil in diesem Buch lie-fert einen guten Überblick über diewichtigsten Themen und über das,was Sie auswendig können sollten. Tipp Der Pﬂichtteil ist der hilfsmittelfreie Teil der Prüfung. Das heißt, hier dürfen Sie weder GTR noch Merkhilfe verwenden. Die hier enthaltenen Aufgaben beziehen sich auf alle drei Sachgebiete und fragen hauptsächlich grundlegende Kenntnisse und Basiskompetenzen ab. Der Pﬂichtteil wird aus kleineren, voneinander unabhängigen Aufgaben aus Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik bestehen. Im Pﬂichtteil können 20 VP erzielt werden. Wie sieht der Wahlteil aus? Original-PrüfungsaufgabenÜben Sie anhand der Original-Prüfungsaufgaben im Buch verschie-dene Aufgabentypen und versuchenSie, die Muster hinter bestimmtenFormulierungen zu erkennen. Trai-nieren Sie den Umgang mit Opera-toren und verbinden Sie konkreteLösungsstrategien damit. Tipp Ihr Lehrer erhält hier zu jedem der drei Sachgebiete zwei Aufgaben (A und B). Er wählt aus jedem Sachgebiet jeweils eine Aufgabe zur Bearbeitung aus. Neu ist seit 2017 die stärkere Gewichtung des Stochastik-Teils. Dieser wird jetzt in einem eigenen Wahlteil behandelt und erfährt durch die Ausweitung auf 10 VP eine höhere Gewichtung. ImWahlteil werden komplexere Zusammenhänge abgefragt, bei denen Sie Gelerntes kombinieren und auf verschiedene Sachund Anwendungssituationen übertragen müssen. Die Aufgaben bestehen aus mehreren Teilaufgaben, die oft aufeinander aufbauen. Wie läuft die Prüfung ab? Aufgabenstellungen gründlichuntersuchen Gerade im Wahlteil, wo mit länge-ren Aufgabenstellungen zu rech-nen ist, kann es helfen, Operatoren,Schlagwörter und Größen zu mar-kieren. So ﬁltern Sie wesentlicheInformationen heraus und habenrelevante Angaben immer schnellparat. Die Aufgaben-Markups derAbimap 2017 geben hierfür wertvol-le Anhaltspunkte. Tipp Für die Bearbeitung der Abituraufgaben haben Sie insgesamt 270 Minuten Zeit. Sie erhalten zu Beginn der Prüfung sowohl die Aufgaben des Pﬂichtteils als auch die drei von Ihrem Fachlehrer ausgewählten Aufgaben des Wahlteils. Zunächst bearbeiten Sie den Pﬂichtteil ohne Hilfsmittel. Nachdem Sie diesen abgegeben haben, erhalten Sie die zugelassenen Hilfsmittel und bearbeiten die drei Wahlteil-Aufgaben. Wie viele Punkte kann ich erzielen? Die folgenden Tabellen zeigen die Bepunktung bezogen auf die drei Sachgebiete der Abiturprüfung in Baden-Württemberg. Pﬂichtteil Sachgebiet Verrechnungspunkte Analysis ca. 10 VP Analytische Geometrie ca. 8 VP Stochastik ca. 2 VP insgesamt 20 VP Wahlteil Sachgebiet Verrechnungspunkte Analysis 20 VP Analytische Geometrie 10 VP Stochastik 10 VP insgesamt 40 VP 6 • Informationen zum Ablauf und zu den wichtigsten Inhalten • Erklärung relevanter Operatoren mit Praxisbeispielen • konkrete Tipps zur Vorbereitung auf die Prüfung Abimaps 2017 – anschaulich aufbereiteteOriginal-Prüfung mit Schritt-für-Schritt-Lösung Abimaps Baden-Württemberg Abitur 2017Integral berechnen: BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Stammfunktion von 2 x2 = 2x−2: 2 · 1−1x −1 = −2 x 2∫ 1 f (x) dx = 2∫ 1 2 x2 dx = [ −2 x ]2 1 = −1− (−2) = 1 =⇒ Die markierte Fläche beträgt 2 + 1 = 3 Flächeneinheiten. 44P Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. (1) Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle. EXTREMA U¨BERMONOTONIE: Abi023 f ′(x) = 0 =⇒ G f hat bei x eine waagerechte Tangente, also Extremoder Terrassenpunkt (2) Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle. d. h. Ableitung hat Nullstelle mit Vorzeichenwechsel Lösung: (1) Die Funktion x 7−→ x3 besitzt keine Extremstelle (sie ist streng monoton wachsend), aber ihre Ableitung hat eine Nullstelle bei x = 0. Die Aussage ist also falsch. (2) Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und jede solche Funktion hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, liegt eine Extremstelle der Funktion vor. Also ist die Aussage wahr. 1 20 1 2 x y ∞ −∞ Nullstelle mit Vorzeichenwechsel VERANSCHAULICHUNG DER ABLEITUNG Wenn die Funktionswerte irgendwo positiv und irgendwo anders negativ sind, dann muss dazwischen ein Vorzeichenwechsel erfolgen. 54,5P Gegeben sind die Ebenen E : x1 + 3x2 = 6 und F : x − 25 3  ·  20 −1  = 0. a) Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. 11 • Aufgaben-Markups, die wichtige Begriﬄichkeiten und Operatoren der Aufgabenstellung erklären • ausführliche Musterlösungen, mit denen Sie die Lösungswege Schritt für Schritt nachvollziehen • QR-Codes bzw. Mediencodes, die direkt zu den passenden Erklärvideos führen • anschauliche Graphiken, die Zusammenhänge visuell aufbereiten • Verbindungspfeile, die eine Beziehung zwischen den Lösungsschritten herstellen Original-Prüfungsaufgaben 2015–2017 – Training derrealen Prüfungssituation Originalprüfung Baden-Württemberg Abitur 2015 Aufgabe 8 a) Bei jedem Drehen gibt es zwei Ausgänge: „Rot wird angezeigt“ und „Rot wird nicht angezeigt“, wobei ersteres stets mit derselben Wahrscheinlichkeit p = 20% eintritt. X ist somit binomialverteilt. b) GEGENEREIGNIS: Abi113 P(X > 3) = 1− (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) = 1− (0,01 + 0,06 + 0,14) = 1− 0,21 = 0,79 c) ERWARTUNGSWERT: Abi126 Aus der Tabelle geht hervor, dass P(X = 4) = 0,22 die größte Wahrscheinlichkeit der Verteilung ist, also ist k = 4 die nächstliegende natürliche Zahl zu E (X ) = n · p. Für n = 20 gilt E (X ) = n · p = 20 · 0,2 = 4, also ist das der passende Wert für n. Aufgabe 9 DREHKO¨RPER: Abi144 Der Abschnitt der Gerade g mit der Gleichung y = 4− 12x zwischen x = 0 und x = 4 wird um die x-Achse rotiert und beschreibt so die Mantelfläche eines Kegelstumpfs: 43 • Original-Aufgaben 2015 bis 2017 • Tipps zum Lösungsweg • Musterlösungen entsprechend der Prüfungsanforderungen Grundwissen – gezieltes Wiederholen wichtigerKompetenzen Grundwissen Analysis GrundwissenBestimmte Integrale Darum geht’s BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Anders als das unbestimmte Integral, das die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion angibt, ist das bestimmte Integral ein Zahlenwert, da hier zusätzlich Integrationsgrenzen angegeben werden. Typische Aufgaben im Abitur Das Integral besteht im Wesentli-chen aus drei Bestandteilen, dieSie aus der Aufgabenstellung ent-nehmen (oder z. T. extra berechnenmüssen): 1. einem Integranden f (x), 2. einer unteren Integrations-grenze a, 3. einer oberen Integrations-grenze b. Tipp Aufgaben zu bestimmten Integralen erkennen Sie daran, dass ein Funktionsterm vorgegeben ist und eine Fläche berechnet werden soll. Die Lösung besteht dann darin, ein geeignetes Integral aufzustellen und zu berechnen, das im Allgemeinen so aussieht: b∫ a f (x) dx Graﬁsche Bedeutung des bestimmten Integrals Anschaulich beschreibt das obige Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von f und der x-Achse (Fläche oberhalb der x-Achse minus Fläche unterhalb der x-Achse), und zwar nur im Bereich zwischen den vertikalen Begrenzungslinien x = a und x = b. x y Gf x = a x = b Bestimmte Integrale lassen sich in 3Schritten berechnen: Schritt 1: Stammfunktion desIntegranden bestimmen Schritt 2: Integrationsgrenzen inStammfunktion einsetzen Schritt 3: Differenz bilden So funktioniert’s Das Wichtigste zum Auswendiglernen F ist eine Stammfunktion von f . INTEGRATIONSREGELN: Abi035 TippAllgemeine Berechnungsformel für bestimmte Integrale b∫ a f (x) dx = F(b)− F(a) Kurzschreibweise für F(b)− F(a): [F(x)]ba 113 • relevante Themen aus Analysis, Analytischer Geometrie und Stochastik • typische Abituraufgaben und Sachzusammenhänge • Kurzanleitungen („So funktioniert’s“) • wertvolle Tipps und Tricks • das Wichtigste zum Auswendiglernen 5 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs
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