Livebook

Das ist DER ABITRAINER Mathematik Aufbau des Buchs Tipps zur Prüfung Abiturprüfung Mathematik in Bayern Die wichtigsten Themen im Abitur Folgende Themengebiete sind Standard im Abitur in Bayern. Bereiten Sie diese gut vor und lösen Sie typische Aufgaben mithilfe der Abimaps und der Original-Prüfungsaufgaben im Buch. Analysis Typische Aufgabenstellungen zu „Funktionen und ihreEigenschaften“ • Parameter von Funktionen aus dem Kontext bestimmen („Steckbriefaufgaben“) • Graphen und Funktionsterme zuordnen • Speziﬁsche Eigenschaften von Funktionen untersuchen und in Anwendungszusammenhängen einsetzen: Nullstellen, Deﬁnitionsund Wertebereich, Grenzwerte, Asymptoten und Periodizität • Transformationen wie Verschiebung, Streckung und Spiegelung auf Funktionen anwenden Die wichtigsten fünf Funktionen Sie sollten die Eigenschaften unddie Parameter der folgenden fünfStandardfunktionen kennen: • Potenzfunktionen • quadratische Funktionen undWurzelfunktionen • gebrochenrationale Funktionen • Exponentialfunktionen • trigonometrische Funktionen Tipp Die TOP 3 Basiskompetenzen zumThema „Ableiten“ Ableiten müssen Sie in jeder Abitur-prüfung. Die folgenden drei Basis-kompetenzen benötigen Sie, umtypische Aufgaben zu lösen: • Grundfunktionen ableiten • Ableitungsregeln anwenden • graﬁsche Bedeutung derAbleitung kennen und anwenden Tipp Typische Aufgabenstellungen zur Differenzialrechnung • Tangentengleichungen aufstellen • Steigungswinkel berechnen • Monotonieund Krümmungsverhalten einer Funktion beschreiben • Extremwerte von Funktionen berechnen und Extremalprobleme lösen • Momentane und mittlere Änderungsraten bestimmen Typische Aufgabenstellungen zur Integralrechnung • Stammfunktionen gängiger Funktionen kennen und bestimmen • Geeignete Integrale aufstellen und bestimmte Integrale berechnen • Flächeninhaltsfunktionen skizzieren Stochastik Typische Aufgabenstellungen im Bereich Stochastik • Mehrstuﬁge Zufallsexperimente untersuchen (Urnenmodelle und Pfadregeln anwenden) • Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen • Erwartungswert berechnen • Wahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen berechnen • Testen von alternativen Hypothesen Kenngrößen vonBinomialverteilungen Binomialverteilungen sind ein zen-traler Themenbereich im Stochastik-Abitur. Die Bedeutung der folgendendrei Parameter sollten Sie kennenund im Kontext erläutern können: • n: Stichprobengröße bzw. Anzahlder Durchführungen einesExperiments • p: Trefferwahrscheinlichkeit • k: Anzahl der Treffer Tipp 8 • Informationen zum Ablauf und zu den wichtigsten Inhalten • Erklärung relevanter Operatoren mit Praxisbeispielen • konkrete Tipps zur Vorbereitung auf die Prüfung Abimaps 2017 – anschaulich aufbereiteteOriginal-Prüfung mit Schritt-für-Schritt-Lösung Abimaps Bayern Abitur 2017Prüfungsteil A, Analysis AUFGABENGRUPPE 1 1 Gegeben ist die Funktion g : x 7−→ 2 · √4 + x − 1 mit maximaler Definitionsmenge DEFINITIONSBEREICH: Abi002 Dg . Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet. Definitionsmenge: Zahlen, die man einsetzen darf a)2P Geben Sie Dg und die Koordinaten des Schnittpunkts von Gg mit der y -Achse an. keine schriftliche Rechnung nötig! Lösung: Term unter Wurzel > 0 : 4 + x > 0⇐⇒ x > 4 ⇐⇒ x ∈ [4 ;∞[ Dg = [4 ;∞[, Schnittpunkt (0|3) b)4P Beschreiben Sie, wie Gg schrittweise aus dem Graphen VERSCHIEBUNG: Abi007 der in R +0 definierten Funktion w : x 7−→ √x hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von g an. −4 −3 −2 −1 1 20 −1 1 2 x y Verschiebung nach links um 4 Einheiten: aus √ x wird √ 4 + x Wertemenge [0 ;∞[ bleibt STRECKUNG: Abi006 −4 −3 −2 −1 1 20 1 2 3 x y Streckung in y-Richtung um den Faktor 2: aus √ 4 + x wird 2 · √4 + x Wertemenge [0 ;∞[ bleibt −4 −3 −2 −1 1 20 −1 1 2 x y Verschiebung um 1 Einheit nach unten: aus 2 · √4 + x wird 2 · √4 + x − 1 aus Wertemenge [0 ;∞[ wird [−1 ;∞[ Transformation von Gw nach Gg: Gw wird um 4 Einheiten nach links verschoben, dann mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und schließlich um 1 Einheit nach unten verschoben, um Gg zu erhalten. Wertemenge von g: Wg = [−1 ;∞[ WERTEMENGE(REGELFALL): Abi021 10 • Aufgaben-Markups, die wichtige Begriﬄichkeiten und Operatoren der Aufgabenstellung erklären • ausführliche Musterlösungen, mit denen Sie die Lösungswege Schritt für Schritt nachvollziehen • QR-Codes bzw. Mediencodes, die direkt zu den passenden Erklärvideos führen • anschauliche Graphiken, die Zusammenhänge visuell aufbereiten • Verbindungspfeile, die eine Beziehung zwischen den Lösungsschritten herstellen Original-Prüfungsaufgaben 2015–2017 – Training derrealen Prüfungssituation Originalprüfung Bayern Abitur 2016 Lösungen Abitur 2016, Prüfungsteil A, Analysis, Aufgabengruppe 1 1 a)2P DEFINITIONSBEREICH: Abi002 1− ln x > 0 und x > 0 ⇐⇒ ln x 6 1 und x > 0 ⇐⇒ e ln x 6 e1 und x > 0 ⇐⇒ x 6 e und x > 0 =⇒ D = ]0;e]. b)2P √ 1− ln x = 2 ⇐⇒ 1− ln x = 4 ⇐⇒ ln x = −3 ⇐⇒ e ln x = e−3 ⇐⇒ x = e−3 23P SYMMETRIE: Abi004 g(−x) = (−x)2 · sin(−x) = x2 · (− sin x) = −x2 · sin x = −g(x) =⇒ Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung. pi∫ −pi x2 · sin x dx = 0. 33P 1 2 30 1 2 3 x y 4 a)3P MONOTONIE: Abi019 Beim Ableiten verringert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion um 1, also hat f ′ den Grad 2. Somit ist der Graph von f ′ eine Parabel. Wegen des Hochpunkts bei x = 1 und des Tiefpunkts bei x = 4 weist f folgendes Monotonieverhalten auf: Hochpunkt Tiefpunkt x < 1 x = 1 1 < x < 4 x = 4 x > 4 f ′(x) + − +0 0 Gf streng monoton wachsend streng monoton fallend streng monoton wachsend Somit ist f ′ an den äußeren Rändern positiv, d. h. Gf ′ ist nach oben geöffnet. Als stetige Funktion hat f ′ Nullstellen, wo ihr Vorzeichen wechselt, also geht Gf ′ durch die Punkte (1|0) und (4|0). 113 • Original-Aufgaben 2015 und 2016 im Buch • Original-Prüfung 2017 zum Download • Tipps zum Lösungsweg • Musterlösungen entsprechend den Prüfungsanforderungen Grundwissen – gezieltes Wiederholen wichtigerKompetenzen Grundwissen Analysis GrundwissenBestimmte Integrale Darum geht’s BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Anders als das unbestimmte Integral, das die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion angibt, ist das bestimmte Integral ein Zahlenwert, da hier zusätzlich Integrationsgrenzen angegeben werden. Typische Aufgaben im Abitur Das Integral besteht im Wesentli-chen aus drei Bestandteilen, dieSie aus der Aufgabenstellung ent-nehmen (oder z. T. extra berechnenmüssen): 1. einem Integranden f (x), 2. einer unteren Integrations-grenze a, 3. einer oberen Integrations-grenze b. Tipp Aufgaben zu bestimmten Integralen erkennen Sie daran, dass ein Funktionsterm vorgegeben ist und eine Fläche berechnet werden soll. Die Lösung besteht dann darin, ein geeignetes Integral aufzustellen und zu berechnen, das im Allgemeinen so aussieht: b∫ a f (x) dx Graﬁsche Bedeutung des bestimmten Integrals Anschaulich beschreibt das obige Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von f und der x-Achse (Fläche oberhalb der x-Achse minus Fläche unterhalb der x-Achse), und zwar nur im Bereich zwischen den vertikalen Begrenzungslinien x = a und x = b. x y Gf x = a x = b Bestimmte Integrale lassen sich in 3Schritten berechnen: Schritt 1: Stammfunktion desIntegranden bestimmen Schritt 2: Integrationsgrenzen inStammfunktion einsetzen Schritt 3: Differenz bilden So funktioniert’s Das Wichtigste zum Auswendiglernen F ist eine Stammfunktion von f . INTEGRATIONSREGELN: Abi035 TippAllgemeine Berechnungsformel für bestimmte Integrale b∫ a f (x) dx = F(b)− F(a) Kurzschreibweise für F(b)− F(a): [F(x)]ba 178 • relevante Themen aus Analysis, Stochastik und Geometrie • typische Abituraufgaben und Sachzusammenhänge • Kurzanleitungen („So funktioniert’s“) • wertvolle Tipps und Tricks • das Wichtigste zum Auswendiglernen 5 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la s

Volltext anzeigen
Das ist DER ABITRAINER Mathematik Aufbau des Buchs Tipps zur Prüfung Abiturprüfung Mathematik in Bayern Die wichtigsten Themen im Abitur Folgende Themengebiete sind Standard im Abitur in Bayern. Bereiten Sie diese gut vor und lösen Sie typische Aufgaben mithilfe der Abimaps und der Original-Prüfungsaufgaben im Buch. Analysis Typische Aufgabenstellungen zu „Funktionen und ihreEigenschaften“ • Parameter von Funktionen aus dem Kontext bestimmen („Steckbriefaufgaben“) • Graphen und Funktionsterme zuordnen • Speziﬁsche Eigenschaften von Funktionen untersuchen und in Anwendungszusammenhängen einsetzen: Nullstellen, Deﬁnitionsund Wertebereich, Grenzwerte, Asymptoten und Periodizität • Transformationen wie Verschiebung, Streckung und Spiegelung auf Funktionen anwenden Die wichtigsten fünf Funktionen Sie sollten die Eigenschaften unddie Parameter der folgenden fünfStandardfunktionen kennen: • Potenzfunktionen • quadratische Funktionen undWurzelfunktionen • gebrochenrationale Funktionen • Exponentialfunktionen • trigonometrische Funktionen Tipp Die TOP 3 Basiskompetenzen zumThema „Ableiten“ Ableiten müssen Sie in jeder Abitur-prüfung. Die folgenden drei Basis-kompetenzen benötigen Sie, umtypische Aufgaben zu lösen: • Grundfunktionen ableiten • Ableitungsregeln anwenden • graﬁsche Bedeutung derAbleitung kennen und anwenden Tipp Typische Aufgabenstellungen zur Differenzialrechnung • Tangentengleichungen aufstellen • Steigungswinkel berechnen • Monotonieund Krümmungsverhalten einer Funktion beschreiben • Extremwerte von Funktionen berechnen und Extremalprobleme lösen • Momentane und mittlere Änderungsraten bestimmen Typische Aufgabenstellungen zur Integralrechnung • Stammfunktionen gängiger Funktionen kennen und bestimmen • Geeignete Integrale aufstellen und bestimmte Integrale berechnen • Flächeninhaltsfunktionen skizzieren Stochastik Typische Aufgabenstellungen im Bereich Stochastik • Mehrstuﬁge Zufallsexperimente untersuchen (Urnenmodelle und Pfadregeln anwenden) • Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen • Erwartungswert berechnen • Wahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen berechnen • Testen von alternativen Hypothesen Kenngrößen vonBinomialverteilungen Binomialverteilungen sind ein zen-traler Themenbereich im Stochastik-Abitur. Die Bedeutung der folgendendrei Parameter sollten Sie kennenund im Kontext erläutern können: • n: Stichprobengröße bzw. Anzahlder Durchführungen einesExperiments • p: Trefferwahrscheinlichkeit • k: Anzahl der Treffer Tipp 8 • Informationen zum Ablauf und zu den wichtigsten Inhalten • Erklärung relevanter Operatoren mit Praxisbeispielen • konkrete Tipps zur Vorbereitung auf die Prüfung Abimaps 2017 – anschaulich aufbereiteteOriginal-Prüfung mit Schritt-für-Schritt-Lösung Abimaps Bayern Abitur 2017Prüfungsteil A, Analysis AUFGABENGRUPPE 1 1 Gegeben ist die Funktion g : x 7−→ 2 · √4 + x − 1 mit maximaler Definitionsmenge DEFINITIONSBEREICH: Abi002 Dg . Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet. Definitionsmenge: Zahlen, die man einsetzen darf a)2P Geben Sie Dg und die Koordinaten des Schnittpunkts von Gg mit der y -Achse an. keine schriftliche Rechnung nötig! Lösung: Term unter Wurzel > 0 : 4 + x > 0⇐⇒ x > 4 ⇐⇒ x ∈ [4 ;∞[ Dg = [4 ;∞[, Schnittpunkt (0\|3) b)4P Beschreiben Sie, wie Gg schrittweise aus dem Graphen VERSCHIEBUNG: Abi007 der in R +0 definierten Funktion w : x 7−→ √x hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von g an. −4 −3 −2 −1 1 20 −1 1 2 x y Verschiebung nach links um 4 Einheiten: aus √ x wird √ 4 + x Wertemenge [0 ;∞[ bleibt STRECKUNG: Abi006 −4 −3 −2 −1 1 20 1 2 3 x y Streckung in y-Richtung um den Faktor 2: aus √ 4 + x wird 2 · √4 + x Wertemenge [0 ;∞[ bleibt −4 −3 −2 −1 1 20 −1 1 2 x y Verschiebung um 1 Einheit nach unten: aus 2 · √4 + x wird 2 · √4 + x − 1 aus Wertemenge [0 ;∞[ wird [−1 ;∞[ Transformation von Gw nach Gg: Gw wird um 4 Einheiten nach links verschoben, dann mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und schließlich um 1 Einheit nach unten verschoben, um Gg zu erhalten. Wertemenge von g: Wg = [−1 ;∞[ WERTEMENGE(REGELFALL): Abi021 10 • Aufgaben-Markups, die wichtige Begriﬄichkeiten und Operatoren der Aufgabenstellung erklären • ausführliche Musterlösungen, mit denen Sie die Lösungswege Schritt für Schritt nachvollziehen • QR-Codes bzw. Mediencodes, die direkt zu den passenden Erklärvideos führen • anschauliche Graphiken, die Zusammenhänge visuell aufbereiten • Verbindungspfeile, die eine Beziehung zwischen den Lösungsschritten herstellen Original-Prüfungsaufgaben 2015–2017 – Training derrealen Prüfungssituation Originalprüfung Bayern Abitur 2016 Lösungen Abitur 2016, Prüfungsteil A, Analysis, Aufgabengruppe 1 1 a)2P DEFINITIONSBEREICH: Abi002 1− ln x > 0 und x > 0 ⇐⇒ ln x 6 1 und x > 0 ⇐⇒ e ln x 6 e1 und x > 0 ⇐⇒ x 6 e und x > 0 =⇒ D = ]0;e]. b)2P √ 1− ln x = 2 ⇐⇒ 1− ln x = 4 ⇐⇒ ln x = −3 ⇐⇒ e ln x = e−3 ⇐⇒ x = e−3 23P SYMMETRIE: Abi004 g(−x) = (−x)2 · sin(−x) = x2 · (− sin x) = −x2 · sin x = −g(x) =⇒ Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung. pi∫ −pi x2 · sin x dx = 0. 33P 1 2 30 1 2 3 x y 4 a)3P MONOTONIE: Abi019 Beim Ableiten verringert sich der Grad einer ganzrationalen Funktion um 1, also hat f ′ den Grad 2. Somit ist der Graph von f ′ eine Parabel. Wegen des Hochpunkts bei x = 1 und des Tiefpunkts bei x = 4 weist f folgendes Monotonieverhalten auf: Hochpunkt Tiefpunkt x < 1 x = 1 1 < x < 4 x = 4 x > 4 f ′(x) + − +0 0 Gf streng monoton wachsend streng monoton fallend streng monoton wachsend Somit ist f ′ an den äußeren Rändern positiv, d. h. Gf ′ ist nach oben geöffnet. Als stetige Funktion hat f ′ Nullstellen, wo ihr Vorzeichen wechselt, also geht Gf ′ durch die Punkte (1\|0) und (4\|0). 113 • Original-Aufgaben 2015 und 2016 im Buch • Original-Prüfung 2017 zum Download • Tipps zum Lösungsweg • Musterlösungen entsprechend den Prüfungsanforderungen Grundwissen – gezieltes Wiederholen wichtigerKompetenzen Grundwissen Analysis GrundwissenBestimmte Integrale Darum geht’s BESTIMMTESINTEGRAL: Abi036 Anders als das unbestimmte Integral, das die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion angibt, ist das bestimmte Integral ein Zahlenwert, da hier zusätzlich Integrationsgrenzen angegeben werden. Typische Aufgaben im Abitur Das Integral besteht im Wesentli-chen aus drei Bestandteilen, dieSie aus der Aufgabenstellung ent-nehmen (oder z. T. extra berechnenmüssen): 1. einem Integranden f (x), 2. einer unteren Integrations-grenze a, 3. einer oberen Integrations-grenze b. Tipp Aufgaben zu bestimmten Integralen erkennen Sie daran, dass ein Funktionsterm vorgegeben ist und eine Fläche berechnet werden soll. Die Lösung besteht dann darin, ein geeignetes Integral aufzustellen und zu berechnen, das im Allgemeinen so aussieht: b∫ a f (x) dx Graﬁsche Bedeutung des bestimmten Integrals Anschaulich beschreibt das obige Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von f und der x-Achse (Fläche oberhalb der x-Achse minus Fläche unterhalb der x-Achse), und zwar nur im Bereich zwischen den vertikalen Begrenzungslinien x = a und x = b. x y Gf x = a x = b Bestimmte Integrale lassen sich in 3Schritten berechnen: Schritt 1: Stammfunktion desIntegranden bestimmen Schritt 2: Integrationsgrenzen inStammfunktion einsetzen Schritt 3: Differenz bilden So funktioniert’s Das Wichtigste zum Auswendiglernen F ist eine Stammfunktion von f . INTEGRATIONSREGELN: Abi035 TippAllgemeine Berechnungsformel für bestimmte Integrale b∫ a f (x) dx = F(b)− F(a) Kurzschreibweise für F(b)− F(a): [F(x)]ba 178 • relevante Themen aus Analysis, Stochastik und Geometrie • typische Abituraufgaben und Sachzusammenhänge • Kurzanleitungen („So funktioniert’s“) • wertvolle Tipps und Tricks • das Wichtigste zum Auswendiglernen 5 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la s
«	»
» Zur Flash-Version des Livebooks