1115.2 Potenzen mit rationalen Exponenten Stelle jeden Term zuerst als Wurzel dar und vereinfache ihn dann möglichst weitgehend. a) 27 1 __ 3 b) 8 2 __ 3 c) 625 – 1 __ 4 d) 2560,375 e) 512 1 __ 9 f) (a10) 1 __ 5 ; a X Lösung: a) 27 1 __ 3 = 3 √ ___ 27 = 3 √ ___ 33 = 3 b) 8 2 __ 3 = 3 √ ___ 82 = 3 √ ___ 64 = 3 √ ___ 43 = 4 c) 625 – 1 __ 4 = 4 √ _____ 625–1 = 4 √ ____ 1 ____ 625 = 4 √ ____ ( 1 __ 5 ) 4 = 1 __ 5 d) 2560,375 = 256 3 __ 8 = 8 √ _____ 2563 = 8 √ ____ (28)3 = 8 √ ___ 224 = 8 √ ____ (23)8 = 23 = 8 e) 512 1 __ 9 = 9 √ ___ 29 = 2 f) (a10) 1 __ 5 = 5 √ ___ a10 = 5 √ ____ (a2)5 = a2 Vereinfache mithilfe der obigen Rechenregeln jeden der fünf Terme 5 1 __ 2 · 5 1 __ 3 ; √ __ 6 : 3 √ __ 6 ; 3 √ __ 2 · 3 √ ___ 16 ; 4 1 __ 3 · 2 1 __ 3 und 71,25 : 70,25 so weit wie möglich und gib dann seinen Wert auf Hundertstel gerundet an. Lösung: 5 1 __ 2 · 5 1 __ 3 = 5 1 __ 2 + 1 __ 3 = 5 5 __ 6 = 6 √ ___ 55 ≈ 3,82 √ __ 6 : 3 √ __ 6 = 6 1 __ 2 – 1 __ 3 = 6 1 __ 6 = 6 √ __ 6 ≈ 1,35 3 √ __ 2 · 3 √ ___ 16 = 2 1 __ 3 · (24) 1 __ 3 = (2 · 24) 1 __ 3 = (25) 1 __ 3 = 2 5 __ 3 = 3 √ ___ 25 = 3 √ ___ 32 ≈ 3,17 4 1 __ 3 · 2 1 __ 3 = (4 · 2) 1 __ 3 = 8 1 __ 3 = 3 √ __ 8 = 2 = 2,00 71,25 : 70,25 = 71,25 – 0,25 = 71 = 7 = 7,00 Vereinfache die beiden Wurzeln 5 √ ____ 486 und 4 √ ____ 160 möglichst weitgehend und gib dann jeweils einen auf Tausendstel gerundeten Näherungswert an. Lösung: 5 √ ____ 486 = 5 √ ______ 243 · 2 = (35 · 2 ) 1 __ 5 = ( 35) 1 __ 5 · 2 1 __ 5 = 3 5 · 1 __ 5 · 2 1 __ 5 = 31 · 2 1 __ 5 = 3 · 5 √ __ 2 ≈ 3,446 4 √ ____ 160 = 4 √ ______ 16 · 10 = (24 · 10) 1 __ 4 = 2 4 __ 4 · 1 0 1 __ 4 = 2 · 4 √ ___ 10 ≈ 3,557 Erweitere jeden der beiden Bruchterme 1 ____ 6 √ ___ 32 und 12 _______ 5 · 5 √ ___ 27 so, dass dann im Nenner eine natürliche Zahl steht. Lösung: 1 ____ 6 √ ___ 32 = 1 · 6 √ __ 2 ________ 6 √ ___ 25 · 6 √ __ 2 = 6 √ __ 2 ____ 6 √ ___ 26 = 6 √ __ 2 ___ 2 ; 12 _______ 5 · 5 √ ___ 27 = 12 · 5 √ ___ 32 ___________ 5 · 5 √ ___ 33 · 5 √ ___ 32 = 12 · 5 √ __ 9 _______ 5 · 5 √ ___ 35 = 12 · 5 √ __ 9 _______ 5 · 3 = 4 · 5 √ __ 9 ______ 5 Ein Würfel hat den Oberfl ächeninhalt y; gib einen Term für sein Volumen an. Lösung: Länge jeder Würfelkante: x 6x2 = y; x2 = y __ 6 ; x = √ __ y __ 6 ; V = x3; V(y) = ( √ __ y __ 6 ) 3 = ( y __ 6 ) 3 __ 2 Ermittle jeweils die Lösungsmenge. a) 2x + 2 = 162; G = b) 1 ___ 81 < 3x 9 √ __ 3 ; G = Lösung: a) 2x + 2 = 28; L = {6} b) 3– 4 < 3x 3 5 __ 2 ; L = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2} Für welche Werte des Exponenten ist 3 m __ n größer als 3? Wieso ist a 1 __ 3 für a = 0 defi niert, a – 1 __ 3 dagegen nicht? Für welche Werte von m X und n X könnte man 0 m __ n sinnvoll defi nieren? „Teilweises Radizieren“ „Rationalmachen des Nenners“ „Wurzelschreibweise“ „Zusammenfassen“ Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs