1296.2 Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck G α A B C c b a l = 5,0 m h = 0,5 mα 10 c m 10 c m 10 c my 12 c m y 9 c m y 3 c m ϕ3 ϕ9ϕ12 x9 cm sin ϕ = y cm–––––––––– 10 cm cos ϕ = x cm––––––––– 10 cm Größe des Winkels 5° 10° 20° 25° 30° 40° 45° 50° 55° 60° 70° 80° 85° Länge seiner Gegenkathete in cm sin (aus der Zeichnung) sin (mithilfe des TR) Länge seiner Ankathete in cm cos (aus der Zeichnung) cos (mithilfe des TR) Aufgaben 10 c mβ2 c m Ermittle den spitzen Winkel β, dessen Kosinuswert 0,2 ist, a) zeichnerisch auf Grad genau. b) mithilfe deines Taschenrechners auf Zehntel Grad gerundet. Lösung: a) Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck z. B. mit einer Kathete der Länge 2 cm und mit der Hypotenusenlänge 10 cm. Der der 2 cm langen Kathete anliegende spitze Winkel ist der gesuchte Winkel β. Aus der Zeichnung ergibt sich β ≈ 78°. b) Tastenfolge: z. B. Shift cos 0 . 2 = Anzeige: 78,46304097 Ergebnis: β ≈ 78,5° Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge 5 cm der Hypotenuse c und die Größe 60° des Winkels α bekannt. Ermittle die Längen der beiden Katheten. Lösung: b __ c = cos α; | · c b = c · cos α = 5 cm · cos 60° = 5 cm · 0,5 = 2,5 cm a __ c = sin α; | · c a = c · sin α = 5 cm · sin 60° ≈ 4,33 cm Andere Möglichkeit der Berechnung von a: Nach dem Satz von Pythagoras ist a² + b² = c²; | – b² a² = c² – b² = (5 cm)² – (2,5 cm)² = 25 cm² – 6,25 cm² = 18,75 cm²; a = √ _________ 18,75 cm2 ≈ 4,33 cm Wie groß ist der Steigungswinkel α des abgebildeten Bretts? Lösung: sin α = 0,5 m _____ 5,0 m = 0,1 Tastenfolge: z. B. Shift sin ( 0 . 5 : 5 ) = Anzeige: 5,739170477 Ergebnis: α ≈ 6° Können der Sinusund/oder der Kosinuswert eines spitzen Winkels größer als 1 sein? Gibt es spitze Winkel, deren Sinuswert gleich ihrem Kosinuswert ist? 1. Ermittle für die Winkelgrößen in der Tabelle die Werte des Sinus und des Kosinus zeichnerisch. Wähle dabei als Hypotenusenlänge 10 cm. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie dann dort. Vergleiche die von dir ermittelten Sinusbzw. Kosinuswerte mit den Werten, die dein Taschenrechner angibt. Stelle den Zusammenhang zwischen der Größe des Winkels und dem Wert von sin bzw. cos graphisch in je einem Liniendiagramm dar. Nu r z P rü fzw ec ke n Ei ge tu m d s C .C . B uc hn er V er la gs