133 Lösung: sin 30° = a __ 2 __ a = 1 __ 2 = cos 60° cos 30° = a __ 2 √ __ 3 _____a = 1 __ 2 √ __ 3 = sin 60° tan 30° = a __ 2 _____ a __ 2 √ __ 3 = 1 ___ √ __ 3 = √ __ 3 ___ 3 = 1 __ 3 √ __ 3 (Hinweis: Es wurde mit √ __ 3 erweitert.) tan 60° = a __ 2 √ __ 3 _____ a __ 2 = √ __ 3 sin 45° = a ____ a √ __ 2 = 1 ___ √ __ 2 = √ __ 2 ___ 2 = 1 __ 2 √ __ 2 = cos 45° (Hinweis: Es wurde mit √ __ 2 erweitert.) tan 45° = a __ a = 1. Zusammenfassung: Wie ändert sich der Sinuswert eines spitzen Winkels , wie sein Kosinuswert und wie sein Tangenswert, wenn dieser Winkel vergrößert wird (aber spitz bleibt)? Wie ändert sich der Sinuswert eines spitzen Winkels , wie sein Kosinuswert und wie sein Tangenswert, wenn dieser Winkel verkleinert wird (aber spitz bleibt)? 1. Übertrage jeweils die Angabe in dein Heft und ersetze dann dort den Platzhalter so, dass eine wahre Aussage entsteht. a) sin 45° = cos b) cos 20° = sin c) sin 20° sin 70° d) cos 60° sin 30° e) tan 60° 1 f) sin 85° sin 75° g) cos 85° – sin 5° = h) tan 45° = i) sin 0° + sin 90° tan 45° j) sin 60° 2 sin 30° k) cos 90° 2 cos 45° 2. a) Begründe durch Umformen von (sin )² + (cos )² = 1, dass für 0° < < 90° stets sin = √ _________ 1 – (cos )2 und cos = √ _________ 1 – (sin )2 ist. b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie dann dort, ohne die Größe des spitzen Winkels zu ermitteln. Runde jedes Ergebnis auf Hundertstel. 3. Begründe, dass in jedem Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a) (sin α) · tan β = √ _________ 1 – (sin )2 b) (tan α) · tan β = 1 c) tan α = √ __ p __ q d) tan β = √ __ q __ p e) √ __________ 1 + (tan )2 · cos α = tan β W1 Wie groß ist der kreisförmige Empfangsbereich eines regionalen Fernsehsenders, dessen Reichweite 95 km beträgt? W2 Wie viele ganzzahlige Wertepaare (x; y) (x > y) erfüllen die Gleichung 3 √ ___ xy = 4? W3 Wie viele ganzzahlige Wertepaare (u; v) erfüllen die Gleichung | u | + | v | = 2? 6.3 Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens 30° 60° a a ––– 2 a ––– 2 a ––– 2 3 a 45° a a2a sin 0,25 0,11 0,50 cos 0,50 0,72 0,81 tan 1,00 √ __ 3 α q p A B C a c b 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 = 1 __ 2 √ __ 0 1 __ 2 = 1 __ 2 √ __ 1 1 __ 2 √ __ 2 = 1 __ 2 √ __ 2 1 __ 2 √ __ 3 = 1 __ 2 √ __ 3 1 = 1 __ 2 √ __ 4 cos 1 1 __ 2 √ __ 3 1 __ 2 √ __ 2 1 __ 2 0 tan 0 1 __ 3 √ __ 3 1 √ __ 3 – Aufgaben n X \ {1}: 3 √ ___ 33n = ? n √ ___ 33n = ? 3 √ ____ 27n = ? Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs