135Additionstheoreme 1. Löse das obige Problem von Lucas und Laura. 2. Finde den exakten Sinus-, Kosinusund Tangenswert für einen 75°-Winkel. 3. Zeige, dass für 0° α 45° stets a) sin (2α) = 2 · (sin α) · cos α ist. b) cos (2α) = (cos α)2 – (sin α)2 ist. 4. Erläutere, dass für 0° α 90° stets a) sin α = 2 · ( sin __ 2 ) · cos __ 2 ist. b) cos α = ( cos __ 2 ) 2 – ( sin __ 2 ) 2 ist. 5. sin ( – ) und cos ( – ): Übertrage zunächst die nebenstehende Zeichnung in dein Heft. Begründe dann mithilfe dieser Zeichnung, dass für 0° β α 90° stets sin ( – ) = (sin ) · cos – (cos ) · sin und cos ( – ) = (cos ) · cos + (sin ) · sin ist. 6. Ermittle die exakten Werte von sin 15° und cos 15°. 7. Zeige, dass für 0° α 30° stets sin (3α) = 3 sin α – 4 (sin α)3 ist. 8. Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist 8 cm, die Basishöhe 3 cm lang. Finde, ohne die Größe der Basiswinkel zu ermitteln, heraus, wie sich der Flächeninhalt bzw. wie sich die Umfangslänge des Dreiecks ändert, wenn jeder der beiden Basiswinkel verdoppelt wird, die Länge der Basis aber unverändert bleibt. 9. Zeige, dass für 0° α < 45° stets tan (2α) = 2 tan _________ 1 – (tan )2 gilt. 10. Zeige, dass für 0° β α < 90° stets tan (α – β) = tan α – tan β ______________ 1 + (tan α) · tan β gilt. a) Ermittle den exakten Wert von tan 15°. b) Erläutere anhand der Zeichnung, dass für den spitzen Winkel , unter dem die Geraden g1: y = m1x + t1 und g2: y = m2x + t2 einander schneiden, für m1 > m2 0 stets tan = m1 – m2 _________ 1 + m1 · m2 gilt. c) Ermittle jeweils die Größe der spitzen Winkel zwischen den Geraden g und h auf zwei verschiedene Arten. (1) g: y = 3x + 1 h: y = x + 5 (2) g: 4x – y = 8 h: y = 0,6x + 8 (3) g: 10x – y = 25 h: 9x – 11y = 0 Gregor: Ich verwende dabei die Formel von Teilaufgabe b). A BE β α – β co s β C DF (s in α ) · c os β (sin α) · sin β αsin β 1 L E α y x S α2 α1 g1 g2 T1 (0 | t1) T2 (0 | t2) ϕ Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs