167 Die Grundfl äche eines 2,5 cm hohen geraden Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 cm und 4 cm. Zeichne ein Netz dieses Prismas und berechne dann seinen Oberfl ächeninhalt und sein Volumen. Lösung: Hypotenusenlänge der Grundfl äche: √ ______________ (3 cm)2 + (4 cm)2 = √ ______ 25 cm2 = 5 cm Oberfl ächeninhalt: A = 2 · [ 1 __ 2 · (3 cm · 4 cm) ] + (3 cm + 4 cm + 5 cm) · 2,5 cm = 2 · 6 cm2 + 12 cm · 2,5 cm = 12 cm2 + 30 cm2 = 42 cm2 Volumen: V = [ 1 __ 2 · (3 cm · 4 cm) ] · 2,5 cm = 6 cm2 · 2,5 cm = 15 cm3 Das nebenstehend gezeichnete gerade Prisma mit trapezförmiger Grundfl äche hat ein Volumen von 6,72 dm³. Berechne die Prismenhöhe x. Lösung: G · h = V; 18 cm + 10 cm ____________ 2 · 15 cm · x = 6 720 cm3; 210 cm2 · x = 6 720 cm3; | : (210 cm2) x = 32 cm Das Prisma ist 32 cm hoch. Ein 15 cm hohes gerades Prisma hat als Grundfl äche ein gleichseitiges Dreieck mit 9 cm langem Umfang. Berechne sein Volumen und seinen Oberfl ächeninhalt. Lösung: Jede Seite des gleichseitigen Dreiecks ist 3 cm, jede seiner Höhen 3 __ 2 √ __ 3 cm lang. Volumen des Prismas: VPrisma = G · h = ( 1 __ 2 · 3 cm · 3 __ 2 √ __ 3 cm ) · 15 cm = 33,75 √ __ 3 cm3 ≈ 58,5 cm3 Oberfl ächeninhalt des Prismas: APrisma = 2G + Uh = 2 · ( 1 __ 2 · 3 cm · 3 __ 2 √ __ 3 cm ) + 9 cm · 15 cm = 9 __ 2 √ __ 3 cm2 + 135 cm2 ≈ 143 cm2 Kann bei einem geraden Prisma der Mantelfl ächeninhalt kleiner sein als der Inhalt von Grundfl äche und Deckfl äche zusammen? Wie viele Flächen, wie viele Kanten und wie viele Ecken hat ein n-seitiges gerades Prisma? Wie kann man ein dreiseitiges gerades Prisma so in zwei gerade Teilprismen zerlegen, dass diese gleiches Volumen besitzen? Gib mehrere Möglichkeiten an. 1. Nenne Gegenstände aus dem täglichen Leben, die die Form eines geraden Prismas besitzen. 2. Ein gerades Prisma besitzt den Grundfl ächeninhalt G und die Höhe h. Berechne jeweils sein Volumen für a) G = 15 m2; h = 2,8 m. b) G = 4 cm2; h = 18 cm. c) G = 64 cm2; h = 8 cm. 10 cm 18 cm 15 cm x 8.2 Das gerade Prisma Aufgaben Beispiele Lucas erinnert sich: „Höhe im gleichseitigen Dreieck: halbe Seitenlänge mal √ __ 3 ” Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt d es C .C . B uc hn er V er la gs