173 Die Klein’sche Flasche Die nach Felix Klein benannte Klein’sche Flasche ist eine geschlossene Fläche, bei der „innen“ und „außen“ nicht unterschieden werden können; sie ist also eine „einseitige“ Fläche. Angeblich ist die Bezeichnung Klein’sche Flasche durch einen Übertragungsfehler entstanden; ursprünglich sollte sie Klein’sche Fläche heißen. Will man sich die schrittweise Entstehung einer Klein’schen Flasche klar machen, so kann man sich zunächst einen schlanken Hohlzylinder aus formbarem Material vorstellen, in dessen Oberfl äche in der Nähe des rechten Endes ein Loch geschnitten ist. Sein rechtes Ende erweitert sich dann; sein linkes Ende verjüngt sich, wird herumgebogen und durch das Loch in der Fläche gesteckt. Die weite Öffnung (rechts) wird verengt, die schmale Öffnung (links) wird erweitert, und die beiden Öffnungen werden miteinander verschmolzen. 1. Erkläre, inwiefern jede der fünf Flächen in der Abbildung einseitig ist, also bei ihr „innen“ und „außen“ nicht unterschieden werden können. 2. Beschreibe die Besonderheiten des abgebildeten Glaskrugs und erkläre ihn als Klein’sche Flasche. 3. Stelle ein Möbiusband – wie auf der vorhergehenden Seite beschrieben, aber mit je zwei „Drittelungsparallelen“ zu den längeren Rechtecksseiten auf der Vorder und auf der Rückseite des Streifens – her. Zerschneide es dann längs der Drittelungsparallelen, beschreibe dein Ergebnis und gib an, ob man bei den Teilen des entstehenden „Gebildes“ Vorderund Rückseite unterscheiden kann oder ob sie „einseitig“ sind. Möbiusband und Klein’sche Flasche Outer Chamber Handle Hole Inner Chamber Nu r z u Pr üf zw ec k n Ei ge nt um d s C .C . B uc hn er V er la gs