181 Von dem Würfel ABCDEFGH (Kantenlänge 8 cm) wird die dreiseitige Pyramide BGEF abgeschnitten. a) Berechne ihr Volumen und fi nde heraus, welchen Bruchteil des Würfelvolumens sie einnimmt. b) Berechne ihren Oberfl ächeninhalt und ermittle, um wie viel Prozent er kleiner ist als der des Würfels. Lösung: a) Als Grundfl äche kann man das rechtwinklige Dreieck BFE wählen; die Pyramidenhöhe ist dann [FG]. Volumen: VPyramide = 1 __ 3 Gh = 1 __ 3 · 1 __ 2 (8 cm)2 · 8 cm = 256 ____ 3 cm3 ≈ 85 cm3 Bruchteil: 256 ____ 3 cm3 _______ (8 cm)3 = 1 __ 6 b) Die Pyramidenoberfl äche setzt sich aus drei zueinander kongruenten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken (Mantel) und einem gleichseitigen Dreieck (Grundfl äche) zusammen. Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks ist 8 √ __ 2 cm (Länge jeder der Flächendiagonalen des Würfels). Oberfl ächeninhalt: APyramide = 3 · [ 1 __ 2 · (8 cm)2 ] + 1 __ 2 · 8 √ __ 2 cm · [ ( 4 √ __ 2 cm ) · √ __ 3 ] = 96 cm2 + 32 √ __ 3 cm2 ≈ 151 cm2; AWürfel = 6 · (8 cm) 2 = 384 cm2; AWürfel – APyramide ≈ 384 cm2 – 151 cm2 = 233 cm2 Prozentsatz: etwa 233 ____ 384 ≈ 61% Eine gerade quadratische Pyramide P (a = 4 cm; h = 6 cm) soll durch einen Schnitt parallel zur Grundfl äche so in eine kleinere Pyramide P* und einen Pyramidenstumpf zerlegt werden, dass die kleinere Pyramide P* ein Achtel des Volumens der Pyramide P einnimmt. Ermittle die Höhe des Pyramidenstumpfs. Lösung: VPyramide = 1 __ 3 Gh = 1 __ 3 · (4 cm)2 · 6 cm = 32 cm3; Vkleinere Pyramide = 32 cm 3 : 8 = 4 cm3; also ist I 1 __ 3 a*2 · h* = 4 cm3. Aus dem 2. Strahlensatz (V-Figur mit Scheitel S) ergibt sich II a* ___ 2 _____ 2 cm = h* _____ 6 cm ; | · 6 cm II’ h* = 1,5 a* in I eingesetzt 1 __ 3 · a*2 · 1,5a* = 4 cm3; 0,5 a*3 = 4 cm3; | : 0,5 a*3 = 8 cm3; a* = 2 cm in II’ eingesetzt h* = 1,5 · 2 cm = 3 cm; hPyramidenstumpf = h – h* = 6 cm – 3 cm = 3 cm. Die Pyramide P wird in halber Höhe zerschnitten. Wie ändert sich das Volumen einer quadratischen Pyramide, wenn man jede ihrer Grundkanten verdoppelt, aber ihre Höhe nicht verändert? Wie ändert sich das Volumen einer quadratischen Pyramide, wenn man jede ihrer Grundkanten halbiert und ihre Höhe verdoppelt? Kann der Mantelfl ächeninhalt einer geraden quadratischen Pyramide ebenso groß wie (oder kleiner als) der Grundfl ächeninhalt dieser Pyramide sein? A B D C E F H G a P S a* h h* Lucas erinnert sich: Für die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a gilt h = a __ 2 √ __ 3 . 8.5 Volumen der Pyramide Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs