197 = {1; 2; 3; 4; ...} ist die Menge der natürlichen Zahlen. Beispiele: 3 X ; 0 x : 3 ist ein Element, 0 ist kein Element der Menge . Jede Primzahl (z. B. 2; 3; 5; 7; 11) hat genau zwei Teiler, 1 und sich selbst. Jede natürliche Zahl außer 1 und den Primzahlen kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden (Primfaktorzerlegung). Beispiel: 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5 Natürliche Zahlen Grundwissen – Zahlen BrücheZerlegt man ein Ganzes z. B. in vier gleich große Teile und fasst dann z. B. drei dieser Teile zusammen, so erhält man den Bruch 3 __ 4 . Der Nenner eines Bruchs gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile zusammengefasst werden. Die Umwandlung eines Bruchs ergibt stets entweder eine abbrechende („endliche”) oder eine nichtabbrechende periodische Dezimalzahl. Beispiele: 1 __ 2 = 0,5; 11 ___ 8 = 1,375; 1 __ 3 = 0,3333... = 0, __ 3; 5 ___ 12 = 0,41666... = 0,41 __ 6 Zähler Bruchstrich Nenner 3–– 4 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 negative ganze Zahlen natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen)null = {... ; – 3; – 2; –1; 0; +1; + 2; + 3; + 4; ...} ist die Menge der ganzen Zahlen. Die Bildpunkte der negativen Zahlen erweitern den Zahlenstrahl links vom Bildpunkt der Zahl 0 zu einer Zahlengeraden. Ganze Zahlen Alle positiven und alle negativen Brüche und die Zahl 0 bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen; die Menge enthält somit auch alle ganzen Zahlen (und deshalb auch alle natürlichen Zahlen). Von zwei rationalen Zahlen ist stets diejenige die größere (die kleinere), deren Bildpunkt auf der Zahlengeraden weiter rechts (weiter links) liegt. Beispiele: – 1 __ 2 < – 1 __ 3 ; – 4 __ 3 < + 1 __ 3 ; – 1 < 0 ; 1 __ 5 > 1 __ 6 Gegenzahl Dezimalzahlen Rationale Zahlen Zahlengerade Betrag Anordnung der rationalen Zahlen Spiegelt man den Bildpunkt einer rationalen Zahl (z. B. – 1 __ 2 ) am Nullpunkt, so erhält man den Bildpunkt ihrer Gegenzahl (hier: + 1 __ 2 ). Die Entfernung des Bildpunkts einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden gibt den Betrag dieser Zahl an. Die Bildpunkte einer Zahl und ihrer Gegenzahl sind vom Ursprung stets gleich weit entfernt: Zahl und zugehörige Gegenzahl besitzen den gleichen Betrag. Für den Betrag einer Zahl a schreibt man | a | (gelesen: „Betrag von a“); es gilt: | a | = a, wenn a > 0 ist. | a | = 0, wenn a = 0 ist. | a | = – a, wenn a < 0 ist. Beispiele: | 2,7 | = 2,7; | 0 | = 0; | – 100 | = 100 Nu r z u Pr üf z ec ke Ei g nt um d es C. C. B uc hn er V er la gs