199Grundwissen – Zahlen; Rechenarten; Quadratwurzeln Rechnen in Division durch einen Bruch Dividieren durch einen Bruch: mit seinem Kehrwert multiplizieren. Beispiele: ( – 6 __ 5 ) : 2 __ 3 = ( – 6 __ 5 ) · 3 __ 2 = – 6 · 3 ____ 5 · 2 = – 3 · 3 ____ 5 · 1 = – 9 __ 5 ( – 6 __ 5 ) : ( – 2 __ 3 ) = ( – 6 __ 5 ) · ( – 3 __ 2 ) = + 6 · 3 ____ 5 · 2 = 3 · 3 ____ 5 · 1 = 9 __ 5 Division durch eine Dezimalzahl Gleichsinnige Kommaverschiebung, sodass der Divisor eine natürliche Zahl wird; dann dividieren. Beispiele: 0,65 : 2,6 = 6,5 : 26 = 0,25 0,65 : (– 2,6) = – (0,65 : 2,6) = – (6,5 : 26) = – 0,25 · + – + + – – – + : + – + + – – – + Merktabellen: Reelle ZahlenZahlen, die sich nicht als Bruch, also nicht in der Form p __ q (p X ; q X ) darstellen lassen, deren Darstellung als Dezimalzahl somit weder abbrechend noch periodisch ist, heißen irrationale Zahlen. Beispiel: √ __ 2 ist eine irrationale Zahl. Die Menge der rationalen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Rechnen mit Quadratwurzeln a √ __ c + b √ __ c = (a + b) √ __ c ; a √ __ c – b √ __ c = (a – b) √ __ c ; a, b X ; c X + 0 √ __ a · √ __ b = √ ___ ab ; a, b X + 0 Sonderfall: √ __ a · √ __ a = √ ____ a · a = √ __ a2 = a; a X + 0 √ __ a ___ √ __ b = √ __ a __ b ; a X + 0 ; b X + a + 0 = a für jeden Wert von a X 0 · a = 0 für jeden Wert von a X a – 0 = a für jeden Wert von a X 0 : a = 0 für jeden Wert von a X \ {0} a · 1 = a für jeden Wert von a X a : 0 ist für keinen Wert von a X möglich. a : 1 = a für jeden Wert von a X Unter der Quadratwurzel aus a ( meist kurz „Wurzel aus a“; geschrieben: √ __ a ) versteht man für a 0 diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Es ist also √ __ a 0 und ( √ __ a ) 2 = a, falls a 0 ist; ferner gilt √ __ a2 = a, falls a 0 ist. Für beliebige reelle Werte von a gilt √ __ a2 = | a | (gelesen: „Wurzel aus a2 ist gleich dem Betrag von a“). Die Zahl (oder allgemein: der Term) unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand; das Ermitteln des Werts einer (Quadrat-)Wurzel nennt man Wurzelziehen (Radizieren). Quadratwurzeln Sonderrolle von 0 und 1 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs