201Grundwissen – Potenzen; allgemeine Wurzeln; Potenzgesetze Wissenschaftliche Schreibweise mithilfe von Zehnerpotenzen („Gleitkommadarstellung“) Mithilfe von Zehnerpotenzen kann man auch Zahlen mit sehr großem bzw. mit sehr kleinem Betrag übersichtlich darstellen: Beispiele: – 45 000 000 = – 4,5 · 10 000 000 = – 4,5 · 107 0,00050 = 5,0 · 0,0001 = 5,0 · 1 ______ 10 000 = 5,0 · 10– 4 Beachte: Für den Betrag a des Faktors vor der Zehnerpotenz gilt 1 a < 10. Unter n √ __ a (gelesen: „n-te Wurzel aus a“) versteht man für n X \ {1} und a X +0 diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Es ist also n √ __ a 0 und ( n √ __ a ) n = a; ferner ist n √ __ an = a. Der Term unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand; n heißt Wurzelexponent. Hinweis: Der Wurzelexponent 2 wird im Allgemeinen weggelassen. Allgemeine Wurzeln kann man auch als Potenzen darstellen: n √ __ a = a 1 __ n ; a X + 0 ; n X \ {1} n √ ___ am = a m __ n ; a X + ; m X ; n X \ {1} Beispiele: 5 √ _____ 1 024 = 5 √ ___ 210 = (21 0) 1 __ 5 = 2 10 · 1 __ 5 = 2 10 ___ 5 = 22 = 4 6 √ ______ 10 000 = 6 √ ____ 104 = ( 104) 1 __ 6 = 1 0 4 · 1 __ 6 = 10 4 __ 6 = 10 2 __ 3 = 10 2 · 1 __ 3 = ( 102) 1 __ 3 = 3 √ ____ 102 = 3 √ ____ 100 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis a m __ n · a p __ q = a m __ n + p __ q a m __ n : a p __ q = a m __ n – p __ q a X + ; m, p X ; n, q X Beispiele: 32 · 34 = 32 + 4 = 36 = 729 53 : 5– 2 = 53 – (– 2) = 53 + 2 = 55 = 3 125 2 1 __ 3 · 2 5 __ 3 = 2 1 __ 3 + 5 __ 3 = 2 6 __ 3 = 22 = 4 5 1 __ 3 : 5 – 2 __ 3 = 5 1 __ 3 – ( – 2 __ 3 ) = 5 3 __ 3 = 51 = 5 Potenzieren einer Potenz ( a m __ n ) p __ q = ( a) m __ n · p __ q a X + ; m, p X ; n, q X Beispiele: (32)4 = 32 · 4 = 38 = 6 561 (2– 1)– 3 = 2(– 1) · (– 3) = 23 = 8 (82) 1 __ 3 = 8 2 · 1 __ 3 = 8 2 __ 3 = ( 23) 2 __ 3 = 2 3 · 2 __ 3 = 22 = 4 ( √ ___ 0,5 ) – 4 __ 3 = ( 0 ,5 1 __ 2 ) – 4 __ 3 = 0,5 1 __ 2 · ( – 4 __ 3 ) = 0,5 – 2 __ 3 = (2 – 1) – 2 __ 3 = 2 (– 1) · ( – 2 __ 3 ) = 2 2 __ 3 = 2 2 · 1 __ 3 = ( 22) 1 __ 3 = 3 √ __ 4 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten a m __ n · b m __ n = (a b) m __ n a m __ n : b m __ n = (a : b) m __ n a, b X + ; m X ; n X Beispiele: 24 · 34 = (2 · 3)4 = 64 = 1 296 4– 1 : 8– 1 = (4 : 8)– 1 = ( 1 __ 2 ) – 1 = 21 = 2 25 2 __ 3 · 5 2 __ 3 = (25 · 5) 2 __ 3 = 1 25 2 __ 3 = ( 53) 2 __ 3 = 5 3 · 2 __ 3 = 52 = 25 256 2 __ 3 : 4 2 __ 3 = (256 : 4) 2 __ 3 = 6 4 2 __ 3 = ( 26) 2 __ 3 = 2 6 · 2 __ 3 = 24 = 16 Schreibweise mithilfe von Zehnerpotenzen Allgemeine Wurzeln Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzgesetze für rationale Exponenten Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs