203 Grundwissen – Umformen von Termen; binomische Formeln; Bruchterme Man multipliziert eine Summe (Differenz) mit einer Summe (Differenz), indem man jedes Glied der ersten Summe (Differenz) mit jedem Glied der zweiten Summe (Differenz) unter Beachtung der Vorund Rechenzeichen multipliziert und dann die Teilprodukte addiert bzw. subtrahiert. Beispiele: (2x + 5) · (3x + 7) = 6x2 + 14x + 15x + 35 = 6x2 + 29x + 35 (2x – 5) · (3x + 7) = 6x2 + 14x – 15x – 35 = 6x2 – x – 35 (2x + 5) · (3x – 7) = 6x2 – 14x + 15x – 35 = 6x2 + x – 35 (2x – 5) · (3x – 7) = 6x2 – 14x – 15x + 35 = 6x2 – 29x + 35 Ausmultiplizieren von Klammern Tritt die Variable (auch) im Nennerterm eines Bruchs auf, so spricht man von einem Bruchterm. Die Nullstellen des Nennerterms gehören nicht zur Defi nitionsmenge des Bruchterms. Bruchterme können wie Brüche erweitert und gekürzt werden. Beim Erweitern werden der Zähler und der Nenner eines Bruchterms mit der gleichen Zahl (allgemein: mit dem gleichen Term) multipliziert. Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner eines Bruchterms durch die gleiche Zahl (durch den gleichen Term) dividiert. Beispiele: 2 _____ x – 1 = 2x ______ x(x – 1) ; D = \ {0; 1}; der Bruchterm wurde mit x erweitert. 2x ______ x(x – 1) = 2 _____ x – 1 ; D = \ {0; 1}; der Bruchterm wurde mit x gekürzt. Beachte: Die größtmögliche Defi nitionsmenge kann sich beim Erweitern bzw. Kürzen eines Bruchterms ändern. Bruchterme können wie Brüche addiert bzw. subtrahiert werden. Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Ungleichnamige Bruchterme werden vor dem Addieren (Subtrahieren) gleichnamig gemacht. Beispiele: 6 _____ x – 3 + 4 _____ x – 3 = 10 _____ x – 3 ; D = \ {3} 1 __ y – 7 ___ 2y = 1 · 2 ____ 2y – 7 ___ 2y = 2 – 7 _____ 2y = – 5 ___ 2y ; D = \ {0} Bruchterme Defi nitionsmenge Erweitern und Kürzen Addieren und Subtrahieren Ein zweigliedriger Term der Form a + b oder a – b heißt Binom. Die Terme (a + b)2, (a – b)2 und (a + b)(a – b) ergeben zusammen mit ihrer ausmultiplizierten Form binomische Formeln, nämlich die „Plus-Formel“ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, die „Minus-Formel“ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 und die „Plus-Minus-Formel“ (a + b)(a – b) = a2 – b2. Durch Ausklammern eines Faktors wird aus einer Summe (Differenz) ein Produkt. Beispiele: 2x + 4y = 2(x + 2y) 2abx + 6abc = 2ab(x + 3c) – 4x – y = (–1) · (4x + y) = – (4x + y) Das Umwandeln einer Summe (Differenz) in ein Produkt bezeichnet man als Faktorisieren dieser Summe (Differenz). Binomische Formeln Ausklammern Faktorisieren Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d s C .C . B uc hn er V er la gs