17 Das Heronverfahren (auch „Babylonisches Wurzelziehen“ genannt) ist ein Algorithmus zur näherungsweisen Bestimmung des Werts der Quadratwurzel aus einer gegebenen positiven Zahl A (die meisten Taschenrechner wenden das Heronverfahren intern an, wenn man die Quadratwurzeltaste drückt): 1. Erkläre die Formel an + 1 = an + A : an ________ 2 ; n X . 2. Bestimme mit dem Heronverfahren einen Näherungswert für √ ___ 12 . Wähle als Startwert a1 = 3 und führe drei Schritte durch. Beurteile dann durch Quadrieren die Genauigkeit deines Endergebnisses a4 . 3. Lege ein Rechenblatt (vgl. Seite 16) für eine Tabellenkalkulation mit dynamisch verknüpftem Diagramm an. Bestimme dann jeweils durch Neueintrag in Zelle E2 und in Zelle B2 einen möglichst genauen Näherungswert für a) √ __ 2 b) √ __ 9 c) √ ______ 13,85 d) √ ___ 99 e) √ ________ 178 923 Lasse in Spalte F für jeden Näherungswert an aus Spalte D die Abweichung seines Quadratwerts vom Radikanden A berechnen. 4. Untersuche, wie schnell das Heronverfahren sich auch bei „abwegigen“ Startwerten einem stabilen Endwert nähert, wie schnell also die Iteration „steht“. 5. Mit der nach Heron benannten Formel A = √ _______________ s(s – a)(s – b)(s – c) kann man den Flächeninhalt A eines Dreiecks berechnen, wenn man die Längen a, b bzw. c der Dreiecksseiten kennt. Dabei bedeutet s die halbe Umfangslänge des Dreiecks: s = U __ 2 = a + b + c ________ 2 . Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie dann dort ggf. mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. 6. Überprüfe die Heron‘sche Formel A = √ _______________ s(s – a)(s – b)(s – c) zur Ermittlung des Flächeninhalts A eines Dreiecks (vgl. Aufgabe 5.) stichprobenartig anhand der beiden rechtwinkligen Dreiecke mit den Seitenlängen a) 3 cm, 4 cm und 5 cm bzw. b) 8 cm, 15 cm und 17 cm. Heronverfahren Lucas: Ich wähle bei 3. a) als Startwert absichtlich 20. Start (1. Schritt) Nächster (2.) Schritt Allgemeines Verfahren Man beginnt mit einem Rechteck mit einer Seitenlänge a1, die so gewählt wird, dass a1 2 ≈ A ist; dann ist die andere Seitenlänge b1 = A : a1. a2 = a1 + b1 ______ 2 = a1 + A : a1 ________ 2 ; b2 = A : a2 Man wiederholt den Iterationsschritt so oft, bis der Näherungswert für √ __ A die gewünschte Genauigkeit erreicht hat: a3 = a2 + A : a2 ________ 2 ; a4 = a3 + A : a3 ________ 2 ; … an + 1 = an + A : an ________ 2 ; n X Seitenlänge a in cm Seitenlänge b in cm Seitenlänge c in cm s in cm Flächeninhalt in cm2 Höhe ha in cm Höhe hb in cm Höhe hc in cm a) 12 5 13 b) 5,4 6,5 7,2 c) 29 31 17 G Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d s C .C . B uc h er V er la gs