209Grundwissen – Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen Parabel Scheitelform der Parabelgleichung Für ist die Parabel P: y = ax2 + bx + c a < – 1 nach unten geöffnet und enger als die Normalparabel. a = – 1 nach unten geöffnet und kongruent zur Normalparabel. – 1 < a < 0 nach unten geöffnet und weiter als die Normalparabel. 0 < a < 1 nach oben geöffnet und weiter als die Normalparabel. a = 1 nach oben geöffnet und kongruent zur Normalparabel. a > 1 nach oben geöffnet und enger als die Normalparabel. xO 1 y 1 2 3 4 2–1–2 y = x 2 Der Graph der (speziellen) quadratischen Funktion f: f(x) = x2; Df = , heißt Normalparabel. Die Wertemenge Wf von f ist + 0 . Jede Funktion f: f(x) = ax2 + bx + c; Df = ; a X \ {0}; b, c X , heißt quadratische Funktion. Sie kann zwei Nullstellen oder genau eine Nullstelle oder keine Nullstelle besitzen. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel, deren Symmetrieachse durch den Parabelscheitel verläuft und entweder die y-Achse oder eine Parallele zur y-Achse ist. Der Funktionsterm f(x) jeder quadratischen Funktion lässt sich mithilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelform a(x – d)2 + e bringen; der Parabelscheitel ist dann S (d | e). Beispiele zur quadratischen Ergänzung: (1) f1(x) = x 2 – 6x + 8 = [ x2 – 6x + ( 6 __ 2 ) 2 ] – ( 6 __ 2 ) 2 + 8 = (x2 – 6x + 32) – 9 + 8 = (x – 3)2 – 1; Df1 = Scheitel der Parabel P1 = Gf1 ist S1 (3 | – 1); Wertemenge von f1 ist Wf1 = [– 1; ∞[. (2) f2(x) = 2x 2 + 8x + 12 = 2 · [x2 + 4x] + 12 = 2[x2 + 4x + ( 4 __ 2 ) 2 – 22] + 12 = 2[(x2 + 4x + 22) – 4] + 12 = 2[(x + 2)2 – 4] + 12 = 2(x + 2)2 – 8 + 12 = 2[x – (– 2)]2 + 4; Df2 = Scheitel von P2 = Gf2 ist S2 (– 2 | 4); Wertemenge von f2 ist Wf2 = [4; ∞[. Allgemein: Jede dieser Parabeln kann mit der x-Achse zwei Punkte (Schnittpunkte), genau einen Punkt (Berührpunkt) oder keinen Punkt gemeinsam haben; mit der y-Achse hat sie stets genau einen Punkt (Schnittpunkt) gemeinsam. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs