211Grundwissen – Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Zwei lineare Gleichungen, die zwei Variable enthalten, bilden ein lineares Gleichungssystem. Beispiel: I 2x + y = 5 II x – y = 1 Zu jeder der beiden Gleichungen existieren unendlich viele Lösungen. Sie lassen sich durch Punkte des Graphen der zugehörigen linearen Funktion veranschaulichen. Die Koordinaten xs = 2; ys = 1 des Schnittpunkts S (2 | 1) der beiden zugehörigen Geraden erfüllen als einzige beide Gleichungen; sie bilden zusammen die (einzige) Lösung des Gleichungssystems, dessen Lösungsmenge also L = {(2; 1)} ist. Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nachdem, ob die zugehörigen Geraden zueinander echt parallel sind, einander schneiden oder zusammenfallen. Die Lösung kann graphisch gefunden werden, indem man die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem einträgt und die Koordinaten ihres Schnittpunkts abliest. Unterscheiden sich bei einem Gleichungssystem die Koeffi zienten einer Variablen nur durch das Vorzeichen, so ist es günstig, die beiden Gleichungen zu addieren, da dann eine der beiden Variablen „wegfällt“. Man nennt dieses Lösungsverfahren Additionsverfahren. Beispiel: I 4x + 3y = 23; II 2x – 3y = 7; I + II 6x = 30; | : 6 x = 5 in Gleichung I eingesetzt: 20 + 3y = 23; 3y = 3; y = 1; L = {(5; 1)} Verallgemeinerung: Wenn keine der beiden Variablen sofort durch bloßes Addieren „wegfällt“, muss man eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) vor dem Addieren zunächst mit einem geeigneten Faktor (bzw. mit geeigneten Faktoren) multiplizieren. Natürlich führt jedes dieser drei Verfahren zur gleichen Lösungsmenge. Grundbegriffe Graphische Lösung Rechnerische Lösung Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren 1 1 y x 1 1 y x 1 1 y x g h g h g = h Gleichsetzungsverfahren 1. Aufl ösen beider Gleichungen nach derselben Variablen 2. Gleichsetzen der beiden neuen rechten Seiten 3. Lösen der so erhaltenen Gleichung, die nur noch eine Variable enthält 4. Einsetzen der Lösung in eine der beiden Gleichungen und Ermitteln des Werts der anderen Variablen 5. Angeben der Lösungsmenge Einsetzungsverfahren 1. Aufl ösen einer der Gleichungen nach einer der Variablen 2. Einsetzen des gefundenen Terms in die andere Gleichung 3. Lösen der so erhaltenen Gleichung, die nur noch eine Variable enthält 4. Einsetzen der Lösung in eine der beiden Gleichungen und Ermitteln des Werts der anderen Variablen 5. Angeben der LösungsmengeNu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C. C. B uc hn er V er la gs