215Grundwissen – Stochastik Man führt ein Zufallsexperiment n-mal durch. Tritt dabei ein bestimmtes Versuchsergebnis k-mal ein, so bezeichnet man k als absolute Häufi gkeit dieses Versuchsergebnisses und den Anteil k __ n an der Gesamtanzahl n der Durchführungen des Zufallsexperiments als relative Häufi gkeit dieses Versuchsergebnisses. Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch, so ändert sich die relative Häufi gkeit, mit der ein Ereignis E eintritt, schließlich nur noch sehr wenig: Die relative Häufi gkeit des Ereignisses E schwankt um eine feste Zahl. Diese Zahl bezeichnet man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E. Die relative Häufi gkeit eines Ereignisses E ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Laplace-Experimente: Zufallsexperimente, bei denen jedes der möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich ist. Sind bei einem Laplace-Experiment 2 (3; 4; 5; 6; … n) verschiedene Ergebnisse möglich, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ergebnisse 1 __ 2 ( 1 __ 3 ; 1 __ 4 ; 1 __ 5 ; 1 __ 6 ; … 1 __ n ). Dementsprechend nennt man einen idealen Spielwürfel einen Laplace-Würfel (L-Würfel), eine ideale Münze Laplace-Münze (L-Münze). Bei Laplace-Experimenten kann man die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E direkt berechnen: P(E) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis E eintritt _____________________________________________________ Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments = „Anzahl der günstigen Ergebnisse“ __________________________________ „Anzahl aller möglichen Ergebnisse“ Es sollen z. B. vier Stellen besetzt werden. Gibt es für die Besetzung der 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle 4. Stelle n1 n2 n3 n4 verschiedene Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n1 · n2 · n3 · n4 verschiedene Besetzungsmöglichkeiten. Beispiel: Wie viele verschiedene vierstellige natürliche Zahlen kann man aus den Ziffern 2; 4; 7; 0 bilden, wenn jede dieser Ziffern a) genau einmal vorkommen soll? b) auch mehr als einmal vorkommen darf? Lösung: a) Anzahl der möglichen Zahlen: 3 · 3 · 2 · 1 = 18 b) Anzahl der möglichen Zahlen: 3 · 4 · 4 · 4 = 192 LaplaceExperimente Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Zählprinzip Absolute Häufi gkeit Relative Häufi gkeit Wahrscheinlichkeit Ein mehrstufi ges Zufallsexperiment kann man durch ein Baumdiagramm veranschaulichen. Beispiel: Eine L-Münze wird dreimal geworfen: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Ergebnis führt. So ist z. B. P(„dreimal WAPPEN“) = P(WWW) = 1 __ 2 · 1 __ 2 · 1 __ 2 = 1 __ 8 . Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Ergebnisse am Ende der Pfade. So ist z. B. P(„genau zweimal ZAHL“) = P(WZZ; ZWZ; ZZW) = 1 __ 8 + 1 __ 8 + 1 __ 8 = 3 __ 8 . Baumdiagramme Pfadregeln W W Z WWW WWZ WZW W Z W Z WZZ Z W Z ZWW ZWZ ZZW W Z W Z ZZZ 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 2 Start Nu r z u Pr üf zw ec k n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs