21 Aufgaben 1.5 Rechnen mit reellen Zahlen Vereinfache jeweils möglichst weitgehend; gib das Ergebnis exakt und auf Tausendstel gerundet an. a) 2 √ __ 7 + 8 √ __ 7 – √ __ 7 b) 5 √ __ 2 + 3 √ __ 5 – 0,5 √ __ 2 + 7 √ __ 5 Lösung: a) 2 √ __ 7 + 8 √ __ 7 – √ __ 7 = (2 + 8 – 1) √ __ 7 = 9 √ __ 7 23,812 b) 5 √ __ 2 + 3 √ __ 5 – 0,5 √ __ 2 + 7 √ __ 5 = (5 – 0,5) √ __ 2 + (3 + 7) √ __ 5 = 4,5 √ __ 2 + 10 √ __ 5 28,725 Vereinfache jeweils möglichst weitgehend. a) ( √ ___ 33 ) 2 b) ( 2 √ __ 7 ) 2 c) √ __ 3 · √ __ 2 d) √ __ 2 ( √ __ 2 + √ __ 4 ) Lösung: a) ( √ ___ 33 ) 2 = 33 b) ( 2 √ __ 7 ) 2 = 4 · 7 = 28 c) √ __ 3 · √ __ 2 = √ ____ 3 · 2 = √ __ 6 d) √ __ 2 ( √ __ 2 + √ __ 4 ) = ( √ __ 2 ) 2 + √ __ 2 · 2 = 2 + 2 √ __ 2 = 2 ( 1 + √ __ 2 ) Vereinfache jeweils möglichst weitgehend. a) √ __ 8 b) √ ___ 45 ___ 4 c) √ ___ 18 ___ 50 d) √ ____ 242 e) √ ___ 5 ___ 20 Lösung („Teilweises Wurzelziehen“): a) √ __ 8 = √ ____ 4 · 2 = √ __ 4 · √ __ 2 = 2 · √ __ 2 = 2 √ __ 2 b) √ ___ 45 ___ 4 = √ _____ 9 · 5 ____ 4 = √ ___ 9 __ 4 · √ __ 5 = 3 __ 2 √ __ 5 c) √ ___ 18 ___ 50 = √ _____ 2 · 9 _____ 2 · 25 = √ ___ 9 ___ 25 = 3 __ 5 d) √ ____ 242 = √ ______ 121 · 2 = √ ____ 121 · √ __ 2 = 11 · √ __ 2 = 11 √ __ 2 e) √ ___ 5 ___ 20 = √ ___ 1 __ 4 = 1 __ 2 Erweitere jeden der drei Bruchterme 1 ___ √ __ 2 , 3 ___ √ __ 3 und 15 ____ √ ___ 12 so, dass keine Wurzel im Nenner bleibt. Lösung: 1 ___ √ __ 2 = 1 · √ __ 2 _______ √ __ 2 · √ __ 2 = √ __ 2 ___ 2 ; 3 ___ √ __ 3 = 3 · √ __ 3 _______ √ __ 3 · √ __ 3 = 3 · √ __ 3 ______ 3 = √ __ 3 ; 15 ____ √ ___ 12 = 15 · √ __ 3 ________ √ ___ 12 · √ __ 3 = 15 · √ __ 3 _______ √ ___ 36 = 15 · √ __ 3 _______ 6 = 5 √ __ 3 ____ 2 Vereinfache jeweils möglichst weitgehend unter Verwendung des Betragszeichens. a) √ ____ a2b2 , wenn a, b X + 0 b) √ __ a2 + a, wenn a X Lösung: a) √ ____ a2b2 = | ab | = ab b) √ __ a2 + a = | a | + a = – a + a = 0 Welches ist die maximale Defi nitionsmenge D des Wurzelterms T(x) = √ ______ ( x – 3 ) 3 über der Grundmenge G = ? Für welchen Wert von x X D ist T(x) = 8? Für welche reellen Zahlen x gilt a) √ _____ ( – x ) 2 = – x, für welche b) √ _____ ( – x ) 2 = x? 1. Gib die Termwerte ohne Verwendung des Taschenrechners an. a) ( √ __ 2 ) 2 b) ( √ __ 2 ) 3 c) ( 2 √ __ 2 ) 2 d) ( 2 √ __ 2 ) 3 e) √ ____ 1 ____ 121 f) √ _____ 0,25 + √ _____ 0,252 g) √ ___ 38 – √ ___ 81 h) √ _____ 0,042 + √ _____ 0,04 i) √ ______ √ ____ 625 j) √ ______ √ ____ 256 k) √ ______ ( √ ___ 24 ) 2 l) √ ________ √ ______ 10 000 m) √ ___ 12 ___ 48 n) √ ____ 243 ____ 27 L 1 ___ 11 ; 0,24; 0,5; 0,75; 2; 2 √ __ 2 ; 3; 4; 5; 8; 10; 16 √ __ 2 ; 72 Lösungen zu 1. Beispiele Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge tu m d es C .C . B uc hn er V er la gs