773.8 Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen II Ermittle für jede der sechs quadratischen Gleichungen die Lösungsmenge L über G = möglichst günstig und veranschauliche die Lösungen auf einer Zahlengeraden. a) 2x2 – 32 = 0 b) 5x2 + 15x = 0 c) x2 + 10x + 25 = 0 d) x2 – 3x = 0 e) x2 + 9 = 0 f) 6x2 – 11x – 10 = 0 Lösung: a) 2x2 – 32 = 0; | + 32 b) 5x2 + 15x = 0; c) x2 + 10x + 25 = 0; 2x2 = 32; | : 2 5x(x + 3) = 0; (x + 5)2 = 0; x2 = 16; x1 = 0; x + 5 = 0; | – 5 x1 = 4; x2 = – 4 x2 = – 3 x = – 5 L = {– 4; 4} L = {– 3; 0} L = {– 5} d) x2 – 3x = 0; e) x2 + 9 = 0; | – 9 x(x – 3) = 0; x2 = – 9 x1 = 0; x2 = 3 L = { } L = {0; 3} f) 6x2 – 11x – 10 = 0 Mithilfe der Lösungsformel ergibt sich für a = 6; b = – 11; c = – 10: x1,2 = – (– 11) ± √ _________________ (– 11)2 – 4 · 6 · (– 10) ________________________ 2 · 6 = 11 ± √ _________ 121 + 240 ______________ 12 = 11 ± √ ____ 361 _________ 12 = 11 ± 19 _______ 12 ; x1 = 11 + 19 _______ 12 = 30 ___ 12 = 5 __ 2 = 2,5; x2 = 11 – 19 _______ 12 = – 8 ___ 12 = – 2 __ 3 L = {– 2 __ 3 ; 2,5} Ermittle die Diskriminante D der quadratischen Gleichung 2x2 – 4x + k = 0 und fi nde heraus, für welchen Wert / welche Werte des Parameters k die Gleichung über G = genau eine Lösung, zwei Lösungen bzw. keine Lösung hat. Lösung: a = 2; b = – 4; c = k; D = b2 – 4ac = (– 4)2 – 4 · 2 · k = 16 – 8k. Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn D = 0, d. h. wenn 16 – 8k = 0, also wenn k = 2 ist. Die Gleichung hat zwei Lösungen, wenn D > 0, d. h. wenn 16 – 8k > 0, also wenn k < 2 ist. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn D < 0, d. h. wenn 16 – 8k < 0, also wenn k > 2 ist. Welcher Gedankengang führt z. B. bei der Gleichung x(x + 11) = 0 auf die Lösungen x1 = 0 und x2 = – 11? Erläutere (ohne den Wert der Diskriminante zu berechnen), dass die Gleichung x2 + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt. 1. Bestimme jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge . a) x2 – 16 = 0 x2 + 16x = 0 x2 + 16 = 0 x + 16 = 0 b) x2 – 2 = 0 x2 + 2x = 0 x2 – 8 = 0 8x + 16 = 0 c) x2 – 4 = 8,25 x + 4 = 8,25 x2 + 3,25 = 9,5 (x + 4)(x – 4) = 0 d) 3x2 + 17 = √ ____ 289 ; √ __ 2 x2 + √ __ 8 = √ ___ 72 ; √ __ 2 x + √ __ 8 = √ ___ 50 ; √ __ 2 x2 + √ __ 8 x = 0 Zur Kontrolle ist für jede der Teilaufgabenzeilen der Summenwert aller Lösungen angegeben. Parameter (griech.): in der Mathematik eine Hilfsvariable – 32; – 4; 1; 4,25 Summenwerte zu 1. c) 0–5 a) b) f) –1 1 f) d)b),d) a) 5 L Aufgaben Beispiele Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C C. B uc hn er V er la gs