81Komplexe Zahlen Löst man die quadratische Gleichung x2 + 8x + 25 = 0 mithilfe der Lösungsformel unter Verwendung von i2 = – 1, so erhält man als Lösungen x1, 2 = – 8 ± √ ___________ 82 – 4 · 1 · 25 ________________ 2 · 1 = – 8 ± √ ________ 64 – 100 _____________ 2 = – 8 ± √ ____ – 36 _________ 2 = – 8 ± 6i ______ 2 = – 4 ± 3i, d. h. x1 = – 4 + 3i und x2 = – 4 – 3i, also zwei Ergebnisse, die sich aus einem reellen Bestandteil (– 4) und einem imaginären Bestandteil (+3i bzw. – 3i) zusammensetzen. Man nennt sie komplexe Zahlen; Leibniz hat derartige Zahlen „Wunder der Analysis“ und „Zwitterwesen zwischen Sein und Nichtsein“ genannt. Die Menge aller komplexen Zahlen, also aller Zahlen a + bi mit a, b X , wird mit bezeichnet. Ebenso, wie man jeder reellen Zahl einen Bildpunkt auf einer Zahlengeraden zuordnet, hat Carl Friedrich Gauß jeder komplexen Zahl einen Bildpunkt in einer Ebene, einer sogenannten Gauß´schen Zahlenebene, zugeordnet. 4. Stelle die komplexen Zahlen in einer Gauß´schen Zahlenebene dar. a) 1 + i b) 5 – 2i c) 2,5i d) 4 e) – 1,5 – 2,5i f) 0 + 0i g) – 0,5 + 4i 5. Vereinfache jeden der Terme und stelle das Ergebnis in der Form a + bi (a, b X ) dar. a) 1 + 1 __ i b) 2i2 – 1 __ i3 c) 3i __ i3 + (2i)4 d) 2i · (1,5 + i) e) (1 + i)(1 – i) f) (2 + i)2 6. Ermittle jeweils die Lösungen der quadratischen Gleichung über der Grundmenge und stelle sie in einer Gauß´schen Zahlenebene dar. Was fällt dir auf? a) z2 + 10z + 34 = 0 b) z2 – 6z + 13 = 0 c) z2 + 6z + 25 = 0 d) z(z + 5i) = 0 7. Stelle jeweils die beiden komplexen Zahlen in einer Gauß´schen Zahlenebene dar, bilde dann ihren Summenwert z und stelle ihn in der gleichen Zahlenebene dar. Was fällt dir auf? a) z1 = 1 + 2i; z2 = 2 + 3i b) z1 = 2 – 2i; z2 = 3 + 4i c) z1 = – 1 – 2i; z2 = – 1 + 2i Gauß hat gezeigt, dass sich jede quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a X \{0}; b, c X ) über der Grundmenge in der Form a(x – x1)(x – x2) = 0 darstellen lässt; x1 X und x2 X sind dabei ihre Lösungen. Er hat ferner gezeigt, dass sich jede Gleichung (auch höheren als zweiten Grades) anx n + an – 1x n – 1 + … + a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0 = 0 (n X ; an 0) mit komplexen Zahlen a0 , a1 , … und an als Koeffi zienten in der Form an(x – x1)(x – x2) … (x – xn) = 0 darstellen lässt, also bis zu n verschiedene komplexe Lösungen x1 , x2 , … und xn hat (Fundamentalsatz der Algebra). Anmerkung: Bei solchen Gleichungen höheren als 4. Grades ist es allerdings nicht immer möglich, diese Lösungen „exakt“ anzugeben. 8. Wahr oder falsch oder nicht entscheidbar? (1) Jede imaginäre Zahl ist eine komplexe Zahl. (2) Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl. (3) 2 + i > 2 – i (4) i2 < 0 (5) Die Bildpunkte der Zahlen z1 = 3 + 4i und z2 = 4 – 3i sind vom Ursprung der Gauß´schen Zahlenebene 5 LE entfernt. (6) Jede quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen. (7) Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl. 1 y x i O 4i 1 + 4i 5 4 + 2i –2 + i –2i imaginäre Achse reelle Achse3 – 1,5i Carl Friedrich Gauß 1777–1855 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um es C .C . B uc hn er V er la gs