85 I. Zeige an den Zahlen 15, 21, 51 und 87 und an fünf weiteren ungeraden natürlichen Zahlen, dass ungerade natürliche Zahlen z > 1 nach der Formel z = ( z + 1 _____2 ) 2 – ( z – 1 _____2 ) 2 als Differenz von zwei Quadratzahlen dargestellt werden können. II. Die Summe der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 18 cm, die Summe der Quadrate der Seitenlängen 128 cm2. Finde heraus, welchen Flächeninhalt dieses Dreieck besitzt. Gregors Tipp: „Die Länge der Hypotenuse fi ndet man sehr schnell. Um den Flächeninhalt zu fi nden, muss man dann nicht erst die Längen der beiden Katheten berechnen.“ III. Zeichne jeweils den Graphen P der Funktion f (Df = ) für verschiedene Werte des Parameters a in ein Koordinatensystem. Untersuche, auf welcher Linie G: y = g(x) bzw. G: x = b die Scheitelpunkte der Parabeln liegen, und gib den Funktionsterm g(x) bzw. den Wert von b an. a) f: f(x) = ax2 + 2x b) f: f(x) = 0,5ax2 + ax c) f: f(x) = x2 + ax + 1 d) f: f(x) = x2 – 2ax + 2a2 – 1 Bearbeite diese Aufgabe mithilfe eines Funktionsplotters oder einer DGS. Bei Bearbeitung mit einer DGS sollte der Parameter a als Wert eines Schiebereglers eingestellt werden. IV. A problem from Mary’s Maths Textbook A theory of physics shows that when an object such as a ball is thrown vertically upward with an initial velocity v0 its height above ground is given approximately by a quadratic expression: s = – 4,9t2 + v0t + h. In this formula h is the starting height (in metres), s is the actual height (in metres), t is the time from projection (in seconds), and v0 is the initial velocity (in m __ s ). A ball is thrown vertically upward from the edge of a cliff 12 meters high with an initial velocity of 2,8 m __ s . Find out a) its maximum height and when it is attained. b) when it reaches the ground 12 m beneath the edge of the cliff. Hint: For a), you should complete a perfect square in the expression for s. V. Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel von zwei Zahlen a und b mit a, b X + : Arithmetisches Mittel: a + b _____ 2 Geometrisches Mittel: √ ___ ab Harmonisches Mittel: 2 ______ 1 __ a + 1 __ b a) Berechne die drei Mittel für a = 4; b = 16 und für a = 2; b = 4,5. b) Übertrage die Zeichnung in dein Heft und veranschauliche dann dort sowohl a + b _____ 2 wie auch √ ___ ab . Zeige anhand der Abbildung, dass a + b _____ 2 √ ___ ab ist. c) Zeige, dass die Dreiecke MDC und CED zueinander ähnlich sind und dass deshalb ___ DC 2 = ___ CE · ____ CM ist. Leite dann mithilfe von algebraischen Umformungen die Ungleichung √ ___ ab 2 ______ 1 __ a + 1 __ b her. d) Zeige, dass ( √ ___ ab ) 2 = a + b _____ 2 · 2 ______ 1 __ a + 1 __ b gilt; formuliere diese Gleichung mit eigenen Worten. Lucas’ Beispiele: 7 = 42 – 32 = 16 – 9 29 = 152 – 142 = 225 – 196 37 = 192 – 182 = 361 – 324 Zusammenhang: a + b _____ 2 √ ___ ab 2 ______ 1 __ a + 1 __ b A G H D BMA b* E a* C b a explore – get more Nu r z u Pr üf zw e ke n Ei en tu m d es C .C . B uc hn er V er la gs