93 Finde heraus, welches Tripel reeller Zahlen Lösung des Gleichungssystems ist: (1) 3x – 2y + z = 0 (2) x – y + z = 0 (3) 4x + 2y – 3z = 5 Lösung: 1. Schritt: Eliminieren z. B. der Unbekannten z z. B. aus (1), (2) und aus (1), (3) (1) 3x – 2y + z = 0 (1) 3x – 2y + z = 0; | · 3 (2) x – y + z = 0 (1’) 9x – 6y + 3z = 0 (1) – (2) 2x – y = 0 (I) (3) 4x + 2y – 3z = 5 (1´) + (3) 13x – 4y = 5 (II) 2. Schritt: Lösen des Gleichungssystems (I), (II) mit den zwei Unbekannten x und y (I) 2x – y = 0, also (I’) y = 2x; in (II) eingesetzt: 13x – 8x = 5; 5x = 5; x = 1; in (I’) eingesetzt: y = 2 Probe: (1) L. S.: 3 · 1 – 2 · 2 + 1 = 3 – 4 + 1 = 0; R. S.: 0; L. S. = R. S. (2) L. S.: 1 – 2 + 1 = 0; R. S.: 0; L. S. = R. S. (3) L. S.: 4 · 1 + 2 · 2 – 3 · 1 = 4 + 4 – 3 = 5; R. S.: 5; L. S. = R. S. Laura überlegt: „Wenn ich eine Käsesemmel, einen Müsliriegel und eine Cola kaufe, bleibt mir noch 1,15 f. Um zwei Käsesemmeln und eine Cola zu kaufen, fehlen mir 15 ct. Kaufe ich drei Müsliriegel und eine Cola, dann bleibt mir noch 1,55 f.“ Finde heraus, was eine Käsesemmel, ein Müsliriegel bzw. eine Cola kostet. Lösung: Preise (in f): Käsesemmel: x; Müsliriegel: y; Cola: z (1) x + y + z = 4,15 (2) 2x + z = 5,45 (3) 3y + z = 3,75 (2) – (1) x – y = 1,30 (I) (3) – (1) – x + 2y = – 0,40 (II) (I) + (II) y = 0,90; in (I) und in (3) eingesetzt: x – 0,90 = 1,30; | + 0,90 3 · 0,90 + z = 3,75; | – 2,70 x = 2,20 z = 1,05 Eine Käsesemmel kostet 2,20 f, ein Müsli-Riegel 0,90 f und eine Cola 1,05 f. Nach welchen Überlegungen wählst du die Unbekannte aus, die du zuerst eliminierst? Kann ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten „unlösbar“ sein (d. h. eine leere Lösungsmenge besitzen)? 1. Ermittle jeweils die Lösungsmenge (Grundmenge für jede der Unbekannten: ) im Kopf. a) (1) x + 2 = 3 b) (1) x2 = 4 c) (1) x = y + 2 d) (1) x + y + z = 0 (2) y = 2x (2) y = 0,5x2 (2) y = 122 : 9 (2) x – y + z = – 4 (3) z = 5x (3) z = x + y (3) z = x + 3y (3) x + y – z = 0 e) (1) x + y = 5 f) (1) x = 5 g) (1) x = 2y + 3z h) (1) x + y + z = 9 (2) y = z (2) y = 7 – 2x (2) y = 0,75z (2) x + y = 5 (3) y + z = 8 (3) z = (x + y) : 2 (3) z + 12 = – 2z (3) y + z = 8 Lauras Geldbeutelinhalt 4.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten {(1; 4; 4)}; {(1; 2; 5)}; {(5; – 3; 1)}; {(18; 16; 66)}; {(– 18; – 3; – 4)}; {(– 2; 2; 0); (2; 2; 4)} Lösungsmengen zu 1. L Aufgaben Beispiele 3. Schritt: Einsetzen; Lösungsmenge x = 1 und y = 2 z. B. in (2) eingesetzt: 1 – 2 + z = 0; z = 1 Lösungsmenge L = {(1; 2; 1)}. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C. C. B uc hn er V er la gs