75–5 –1 Der Produktwert aus Vorgänger und Nachfolger einer ganzen Zahl ist minimal, wenn es sich bei dieser ganzen Zahl um die Null handelt. 119 Lösung: u (x) = (2 · y + 2 · 2x) LE y = –x2 + 4 u (x) = ( 2 (–x2 + 4) + 4x ) LE u (x) = (–2x2 + 4x + 8) LE Quadratische Ergänzung liefert: u (x)= [ –2 (x – 1)2 + 10 ] LE Das Rechteck A0B0C0D0 besitzt für x = 1 den maximalen Umfang umax = 10 LE. A0 (–1 | 0); B0 (1 | 0); C0 (1 | 3); D0 (–1 | 3) Die Rechtecke AnBnCnDn besitzen die Breite 2x LE und die Länge y LE. Was lässt sich über die Extremwerte des Terms T (x) = a (x – xS ) 2 + yS mit a X und xS, yS X aussagen, wenn x X [xS; xS + 2] ? Was lässt sich über die Extremwerte des Terms T (x) = (x – 3 ) 2 – 1 aussagen, wenn x X [1; 5] ? 1 Die Punkte Pn (x | y) liegen auf der Parabel p: y = 0,5x 2 + x + 1 mit = . Zusammen mit den Punkten C (–1 | 3,5) und Qn bilden sie Dreiecke CPnQn, wobei für die Punkte Qn gilt: ________ › PnQn = ( 4 2 ) . a) Zeichne die Parabel p sowie das Dreieck CP1Q1 für x1 = –2 in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt A1 des Dreiecks CP1Q1. b) Welche Werte für xn sind zulässig? Nutze die Zeichnung. Begründe. c) Gib den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Pn an. d) Unter den Dreiecken CPnQn hat das Dreieck CP0Q0 den größten Flächeninhalt A0. Berechne die Koordinaten der Punkte P0 und Q0. 2 Carlo stellt eine Behauptung auf. Begründe, ob Carlo Recht hat. 3 a) Ermittle, für welche zwei positiven rationalen Zahlen sich der größtmögliche Produktwert ergibt, wenn der Summenwert beider Zahlen 21 ist. b) Ändere das Zahlenrätsel aus Teilaufgabe a) so ab, dass das Produkt der beiden positiven rationalen Zahlen den kleinstmöglichen Wert ergibt. 4 Auf der Parabel p liegen Punkte Cn (x | x 2 + 5x + 4,75) und Dn, wobei die Abszisse der Punkte Dn jeweils um 2 größer ist als die der Punkte Cn. Die Punkte Cn und Dn sind zusammen mit dem Punkt A (–2 | 1) Eckpunkte von Parallelogrammen ABnCnDn. a) Zeichne die Parabel p sowie die Parallelogramme AB1C1D1 für x = –3,5 und AB2C2D2 für x = –2,5 in ein Koordinatensystem. b) Bestimme die Koordinaten von Dn in Abhängikeit von x. c) Berechne den Flächeninhalt A (x) der Parallelogramme ABnCnDn. d) Unter den Parallelogrammen ABnCnDn hat das Parallelogramm AB0C0D0 den kleinsten fl ächeninhalt A0. Ermittle den zugehörigen Wert von x. Setze x für die gesuchte Zahl. Lösung zu 4: Dn (x + 2 | x 2 + 9x + 18,75) A (x) = (2x2+ 12x + 20,5) FE Lösung zu 1: A (x) = (–x2 – x + 6) FE Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs