155 100° 35° 3,5 4,2 78° 5,5 6,3 2,5 3 5 4,8 3,6 45° 78°5,6 2,8 5,5 45° 100° 2,4 1,8 2,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35° 12 cm C A 4 cm 7 cm B C’ A’ B’ x y C’B’ A’ B C A x y 6 cm 6 cm 3 cm 5 cm 8 cm 1 Welche der abgebildeten Dreiecke sind ähnlich? Begründe. 2 Die Abbildung stellt einen Beweis für den Ähnlichkeitssatz www dar. Voraussetzung: α = α’; β = β’; γ = γ’ Behauptung: ΔABC ~ ΔA’B’C’ Beweis: 1 ΔABC A; k ΔAB*C* mit k = ____ A’B’ ____ ___ AB 2 • α = α’ nach Voraussetzung • ___ AB* = ____ A’B’ wegen k = ____ A’B’ ____ ___ AB • β* = β = β’ (Winkeltreue der zentrischen Streckung und Voraussetzung) ΔAB*C* ≅ ΔA’B’C’ (WSW) 1 und 2 ΔABC ~ ΔA’B’C’ a) Beschreibe den Beweis in eigenen Worten. Begründe das Vorgehen. b) Beweise ebenso einen weiteren Ähnlichkeitssatz. 3 Überprüfe die Dreiecke ABC und A’B’C’ auf Ähnlichkeit. a) α = 57°; b = 8 cm; c = 12 cm α’ = 57°; b’ = 16 cm; c’= 24 cm b) α = 70°; β = 50°; c = 35 mm β’ = 50°; γ’ = 80°; b’ = 6,7 cm c) b = 6,4 cm; c = 2,5 cm; β = 34° b’ = 24,32 cm; c’ = 9,5 cm; β’= 34° d) a = 58 mm; c = 26 mm; γ = 45° a’ = 2,9 cm; c’ = 2,6 cm; γ = 45° e) a = 2,6 m; α = β = 60° b’ = 47 mm; c’ = 4,7 cm; γ’ = 60° 4 Die Dreiecke ABC und A’B’C’ sind ähnlich. Berechne fehlende Seitenlängen. a) a = 5 cm; b = 4,4 cm; c = 5,6 cm; a’ = 12,5 cm b) a = 25 mm; b = 45 mm; c = 55 mm; c’ = 11 mm c) b = 45 m; a’ = 38 mm; b’ = 5 cm; c’ = 0,65 dm 5 ΔABC ~ ΔA’B’C’. Berechne die Längen der Strecken x und y. a) b) alle Längenmaße in cm Erstelle zunächst eine Skizze, in die du die gegebenen Seitenlängen einträgst. Begründe, dass die Kongruenz ein Sonderfall der Ähnlichkeit ist. Erkläre den Unterschied des Begriffs „ähnlich“ im Alltag und in der Mathematik. Lösungen zu 6: 3,75 cm; 2 cm; 3,5 cm; 4 cm C* A γ* β*α γ β B*B C C’ A’ γ’ β’ B’ α’ Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs