169 1 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Runde geeignet. a) 2x2 – 6x + 4 = 0 b) x2 + 4x + 4 = 0 c) x2 – 0,5x – 7,5 = 0 d) –3x2 – 6x + 2,25 = 0 e) 0,5x2 – 9x – 8 = 0 f) 1,5x2 + 7x – 4 = 0 g) 2x2 – 0,5x – 3,75 = 0 h) x2 + 1,5x + 9 ___ 16 = 0 i) 3x 2 + 18x + 21 = 0 2 Bringe die Gleichungen in die Form ax2 + bx + c = 0. Bestimme die Lösungsmenge. a) x2 = 2,4x – 1,43 b) 1,5x2 + 0,75x = 1,26 c) x2 – 7x = 2,75 d) 2x2 = 0,4x + 0,48 e) x · (x – 4) = –4 f) (3 – x) · 3x = –15 3 Bestimme die Lösungsmenge. Runde auf zwei Dezimalen. a) 3x · (2x – 7) – 8 = 4x · (3x + 7) b) 2 · (5x – 3) · x – 3 · (7 – x) = –4 · (x – 3) · (x + 3) c) 5x · [2 – (2x – 9) + 5x] = (9x – 4) · (–2 – 5x) d) (x + 5)2 – (3x + 8)2 = (x + 7) · (x – 7) 4 a) Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung mit der Lösungsformel. Was fällt dir auf? 1 2x2 + x – 15 = 0 2 9x2 – 9x + 2,25 = 0 3 x2 – 0,1x + 0,9 = 0 b) In der Lösungsformel der quadratischen Gleichung treten Wurzeln auf. Den Term unter der Wurzel in der Lösungsformel nennt man Diskriminante D mit D = b2 – 4ac. Für die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung gibt es drei Fälle: D 0 D = 0 D 0 Es ergeben sich zwei Es ergibt sich eine Der Term √ __ D ist nicht verschiedene Lösung, da x1 = x2 ist. defi niert. Die Gleichung Lösungen x1 und x2. hat in keine Lösung. Bestimme mithilfe der Diskriminante die Anzahl der Lösungen und dann die Lösungsmenge. 1 2x2 – 20x + 42 = 0 2 –3x2 + 18x – 75 = 0 3 3x2 + 6x – 105 = 0 4 –x2 – 5x – 5,25 = 0 5 –x2 – 5x + 24 = 0 6 7x2 = 3,5x + 10,5 7 –3x = –2,24 – x2 8 100x · (x + 3) = 559 9 2,5x2 – 25x = 62,5 5 a) Die Seiten eines Rechtecks sind 4 cm und 7 cm lang. Eine Seite wird um x cm verkürzt, die andere um x cm verlängert. Bestimme x so, dass das neue Rechteck den Flächeninhalt 21,25 cm2 hat. b) Die Seiten eines Quadrats der Seitenlänge 12 cm werden um x cm verkürzt bzw. 2x cm verlängert. Prüfe, ob ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 165 cm2 (160 cm2) entstehen kann. Bestimme die Koeffi zienten a, b und c in folgenden Gleichungen: 1 –2x2 + 3x – 4 = 0 2 x2 – 7,5x + 2 = 0 3 3x2 + 4 = 0 Überprüfe mithilfe der Lösungsformel aus dem Merkwissen die Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung (siehe Einstieg). Lösungen zu 3: = { –1,01; 0,13 } ; = { –8; –0,17 } ; = { –1,91; 2,13 } ; = { – 4,47; 0,25 } Lösungen zu 1: = { –5,18; 0,51 } ; = { –4,41; –1,59 } ; = { –2,5; 3 } ; = { –2 } ; = { – 2,32; 0,32 } ; = { –1,25; 1,5 } ; = { –0,85; 18,85 } ; = { 0,75 } ; = { 1; 2 } ; zu 5a): x 7 4 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs