185 24 Durch y = –x2 – kx – k mit k X ist eine Parabelschar p (k) festgelegt. a) Welche Parabel der Schar geht durch den Punkt P (–3 | –1)? b) Bestimme die gemeinsamen Punkte der zu k = –2 und k = –1 gehörenden Parabeln. c) Weise rechnerisch nach, dass alle Scharparabeln durch den Punkt Q (–1 | –1) gehen. Gibt es noch weitere gemeinsame Punkte zweier Scharparabeln? d) Ermittle in Abhängigkeit von k die Koordinaten der Scheitelpunkte Sn. e) Zeichne die zu k X {–2; –1; 2; 4; 6} gehörenden Parabeln p2, ..., p5 in ein gemeinsames Koordinatensystem. f) Die Parabel p mit y = x2 + 2x hat mit jeder Parabel der Schar neben dem Punkt P (–1 | –1) noch einen weiteren Punkt gemeinsam. Bestimme die Koordinaten dieser Punkte Pn in Abhängigkeit von k. g) Welche Bedeutung haben die Punkte Pn für die Parabelschar? Welche Bedeutung hat deshalb p für die Parabelschar? Trage p in die Zeichnung ein. Lösung zu 24 d): Sn ( – 1 __ 2 k | 1 __ 4 k2 – k ) François Viète François Viète (1540–1603) war ein begeisterter französischer Hobbymathematiker, der bis heute weltberühmt ist. Unter anderem entdeckte er den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer quadratischen Funktion und der Normalform der zugehörigen Funktionsgleichung. Dieser Zusammenhang steckt im „Satz von Vieta“, der lateinischen Form seines Nachnamens. • Recherchiere über das Leben von François Viète. • Nenne weitere bedeutende Erkenntnisse des Mathematikers François Viète. Satz von Vieta Besitzt die quadratische Funktion y = x2 + px + q die Nullstellen x1 und x2, so gilt: x1 + x2 = –p und x1 · x2 = q Weiterhin gilt: x2 + px + q = (x – x1) · (x – x2) Mithilfe dieses Satzes kannst du Nullstellen kontrollieren oder auch Nullstellen geschickt erraten. Beispiel: Funktionsgleichung: y = x2 – x – 72 Für p = –1 und q = –72 lassen sich mit der Lösungsformel die Nullstellen x1 = –8 und x2 = 9 bestimmen. Probe mit dem Satz von Vieta: x1 + x2 = –p –8 + 9 = 1 p = –1 x1 · x2 = q (–8) · 9 = –72 q = –72 • Berechne die Nullstellen der Funktionen und kontrolliere die Lösung mithilfe des Satzes von Vieta. 1 y = x2 – 7x + 10 2 y = x2 – 3x – 18 3 y = x2 – 6x – 27 4 y = x2 + 7x – 120 5 y = x2 – 12x – 45 6 y = x2 + 4x – 45 7 y = x2 – 2x – 35 8 y = x2 + 8x + 7 • Gegeben sind die Nullstellen einer verschobenen Normalparabel. Bestimme mithilfe des Satzes von Vieta die Funktionsvorschrift. 1 x1 = –2; x2 = 5 2 x1 = 6; x2 = 18 3 x1 = –7; x2 = 4 4 x1 = 3,5; x2 = –2,5 5 x1 = –1,2; x2 = –3,6 6 x1 = 8; x2 = 0 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B ch ne r V er la gs