193 A 6 cm 4,8 cm 7,5 cm F B E m [CE] CD M Lösung: Kathetensatz: b2 = c · q q = b 2 __ c q = (6 cm2) ______10 cm = 3,6 cm Mit c = p + q folgt: p = c – q p = 10 cm – 3,6 cm = 6,4 cm Kathetensatz: a2 = c · p a = √ ____________ 10 cm · 6,4 cm = √ ______ 64 cm2 = 8 cm Höhensatz: hc 2 = p · q hc = √ ____________ 3,6 cm · 6,4 cm = √ ________ 23,04 cm2 = 4,8 cm A B C q p h c ab „Da jedes stumpfwinklige Dreieck eine Höhe besitzt, kann man den Höhensatz auch bei diesen Dreiecken anwenden.“ Stimmt das? 1 Bestimme rechnerisch die fehlenden Längen für das bei C rechtwinklige Dreieck ABC. 2 Bestimme den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABC. a) q = 6 cm; c = 14,5 cm; γ = 90° b) b = 8 cm; q = 4,8 cm; γ = 90° c) q = 6 cm; hc = 11 cm; γ = 90° d) b = 8 cm; c = 14,8 cm; γ = 90° 3 a) Thomas wandelt ein Quadrat der Seitenlänge s = 6 cm durch Konstruktion und mithilfe einer Rechnung in ein fl ächeninhaltsgleiches Rechteck der Seitenlängen q und p um mit p = 4,8 cm. Begründe das Vorgehen von Thomas. Konstruktion 1. Zeichne das Quadrat ABCD. 2. Verlängere [AB] über B hinaus um p = 4,8 cm, Eckpunkt E. 3. m[CE] ∩ AB = {M} 4. k (M; r = ___ MC) ∩ AB = {E; F} 5. q = ___ FB 6. Zeichne das Rechteck mit den Seitenlängen q und p. Rechnung h2 = p · q (Höhensatz mit h = s) (6 cm)2 = 4,8 cm · q q = 36 cm2 : 4,8 cm q = 7,5 cm p = 4,8 cm; q = 7,5 cm b) Wandle ebenso ein Quadrat der Seitenlänge s durch Konstruktion und Rechnung in ein fl ächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen q und p um. 1 s = 40 mm; q = 80 mm 2 s = 6,6 cm; p = 99 mm 3 s = 20 mm; p = 25 mm 4 s = 0,48 dm; p = 64 mm a) b) c) d) e) f) a 72 mm 80 cm b 4,0 km 6,8 cm c 5,0 km 100 mm 12 cm 6 dm hc p 5,6 cm 4 dm 22 cm q 3,4 cm A B C q h c c p b a Verwende jeweils den Höhensatz. Findest du auch eine Lösung mit dem Kathetensatz? Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . uc hn er V er la gs