199 21 Gegeben: a = 10 cm; c = 26 cm im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° Gesucht: p, q und h Felix: 1 a2 = c · p (10 cm)2 = 26 cm · p 100 cm2 : 26 cm = p 3,85 cm p 2 q = c – p q = 6,15 cm 3 h2 = p · q h2 = 10 cm · 3,85 cm = 38,5 cm h = 6,2 cm (gerundet) a) Untersuche die Rechnungen von Felix und Anna. Verbessere fehlerhafte Teilrechnungen und Notationen. b) Erstelle eine Musterlösung zur Aufgabe. Finde verschiedene Rechenwege. 22 Dem gleichseitigen Dreieck ABC wird ein rechtwinkliges Dreieck BTS einbeschrieben (siehe Skizze). a) Zeige, dass die Dreiecke ABS und BTS ähnlich zueinander sind. b) Berechne für die angegebenen Maße die Flächeninhalte der beiden Dreiecke ABS und BTS. Anna: 1 b2 = c2 – a2 b = √ ____________ (26 cm)2 – (10 cm)2 = 24 cm (24 cm)2 : 26 cm = q 22,15 cm q 2 p = c – q p = 3,85 cm 3 h2 = pq h2 = 26 cm · 3,85 cm = 100,10 cm2 h 10,0 cm A B C q p a h b c A B C T S 6 cm 60° 30° 30° Beweise des Satzes von Pythagoras Der Satz des Pythagoras ist sicherlich einer der mathematischen Sätze, für die es die meisten Beweise gibt. Hier fi ndest du zwei bekannte Möglichkeiten. a) Beweis von Garfi eld: James A. Garfi eld (1831 – 1881) war der 20. Präsident der USA. Seine Beweisfi gur: • Begründe, dass die Beweisfi gur ein Trapez ist. • Beweise den Satz des Pythagoras, indem du den Flächeninhalt des Trapezes und der drei Teildreiecke betrachtest. b) Beweis von Leonardo da Vinci: Leonardo da Vinci (1452 – 1519) war ein italienischer Bildhauer, Maler und Architekt. Seine Beweisfi gur: • Untersuche die Symmetrieeigenschaften des rot (grün) umrandeten Sechsecks. • Zeige, dass man durch Drehung eine Sechseckhälfte in die andere überführen kann. Folgere damit den Satz des Pythagoras. Ergänzung zweier kongruenter Dreiecke zur Pythagoras-Figur. a a b c c b Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs