49 Die Seitenlänge a eines Rechtecks beträgt 2 __ 3 der Seitenlänge b. Welche der beiden Beziehungen ist richtig? a = 2 __ 3 b oder b = 2 __ 3 a? Begründe. 1 Lege, falls nötig, den Parameter fest und gib jeweils die neuen Längen in Abhängigkeit vom Parameter an. a) Die Höhe eines Dreiecks ist 4-mal so lang wie die zugehörige Grundseite. b) Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks wird auf jeder Seite um 1,5x cm verlängert, während die Höhe um 2x cm verkürzt wird. c) Eine 6 cm lange Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks wird um 2x cm ver längert, während die 13 cm lange Kathete um 2,5x cm verkürzt wird. 2 Ein rechteckiges Grundstück ist 90 m lang und 60 m breit. Der Eigentümer muss von der Länge seines Grundstücks abgeben und darf dafür die Breite für jeden abgegebenen Meter um 2 m verlängern. Um wie viel Meter wird er das Grundstück verkürzen, wenn er ein Grundstück mit größtmöglichem Flächeninhalt möchte? 3 Eine Raute ABCD ist durch ___ AC = 7 cm und ___ BD = 4 cm gegeben. a) Zeichne die Raute ABCD. b) Es entstehen neue Rauten AnBnCnDn, wenn man [AC] von A und C aus jeweils um x cm verkürzt und [BD] über B und D hinaus jeweils um x cm ver längert. Zeichne eine neue Raute A1B1C1D1 für x = 2,5 und berechne den Flächen inhalt der beiden Rauten. c) Für welche Werte von x existieren Rauten? d) Für welchen Wert von x ist die Raute ein Quadrat? e) Bestimme den Flächeninhalt der Rauten AnBnCnDn. f) Für welches x entsteht die Raute A0B0C0D0 mit dem größten Flächen inhalt? 4 Die Grundlinie [AB] eines gleichschenkligen Dreiecks ABC ist 6 cm und ihre zugehörige Höhe 10 cm lang. Die Form des Dreiecks wird nun so verändert, dass die Höhe um x cm verkürzt wird, während gleichzeitig die Grundlinie in jeder Richtung um x cm verlängert wird. Es entstehen Dreiecke AnBnCn. a) Zeichne das Dreieck ABC und die neuen Dreiecke für x X {1,5; 3}. b) Welche Werte darf x annehmen? c) Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von x dar. d) Für welchen Wert von x erhält man das fl ächengrößte Dreieck? 5 Die Gemeinde Keinhausen verkauft Grundstücke. Herr Hansen kann ein drei eckiges Grundstück günstig erwerben und muss nun das rechteckige Baufenster festlegen, auf dem das Haus gebaut werden soll. Herr Hansen möchte die größtmögliche Bebauungsfl äche haben. Beachte, dass das Baufenster aufgrund gesetzlicher Vorgaben mindestens 3 m vom oberen und rechten Grundstücksrand entfernt sein muss. Überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch mit einem Geometrie programm. Ein Baufenster ist der Teil des Grundstücks, der bebaut werden darf. A C D B A 1 B 1 C 1 C A B x 33 m 48 m 2x x Lösung zu 3 e): A (x) = (–2x2 + 3x + 14) cm2 Lösung zu 4 c): A (x) = (–x2 + 7x + 30) cm2 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs