54–7 –3 5 7–7 –5 5 6–3 –3 Wird ein Parallelogramm von den Vektoren __ ›a = ( ax ay ) und __ › b = ( bx by ) aufgespannt, so gilt für seinen Flächeninhalt A = | ax ay bx by | FE. 51 1 Zeichne die Dreiecke und berechne deren Flächeninhalt. a) A (3 | 5); B (9 | 1); C (6,5 | 4,5) b) D (–2 | 2); E (3 | –1); F (0 | 5) c) G (–7 | –9); H (–4 | –6); I (–10 | –3) d) J (0 | 0); K (5 | 0); L (0 | 7) 2 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A (1 | 2), B (4 | –5) und C (6 | 5) auf verschiedene Weise. Verwende jedes Mal einen anderen Fußpunkt für die Vektoren. 3 Felix und Eva haben den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A (–2 | 2), B (4 | –1) und C (3 | 5) berechnet. Sie haben unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Überprüfe deren Rechnungen und berichtige gegebenenfalls. 4 Durch A (1 | 1), B (6 | 4) und die Punkte Cn (3,5 | y) ist eine Schar von Dreiecken ABCn gegeben (y X ). a) Zeichne drei solcher Dreiecke. Welche Werte darf y annehmen? b) Berechne y so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 7,5 FE (10 FE) beträgt. 5 Durch A (–6 | –2), Bn (3 | y) und C (–3 | 2) sind Dreiecke ABnC gegeben (y X ). a) Zeichne A und C in ein Koordinatensystem. Wo liegen die Punkte Bn? b) Wie fi ndet man das „Dreieck“ AB0C mit dem kleinsten Flächeninhalt? Begründe. c) Zeichne die Dreiecke AB1C, ..., AB5C für y X {–2; –1; 0; 1; 2}. d) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABnC in Abhängigkeit von y. e) Bestätige das Ergebnis aus b) rechnerisch. 6 Zeichne das Vieleck und berechne seinen Flächeninhalt, indem du es geschickt zerlegst. Ergänze gegebenenfalls den fehlenden Punkt. a) Parallelogramm SINA: S (–2 | –2); I (1 | 1); A (–3 | –2) b) Raute RUTH: R (–2 | 3); T (2 | –1); H (3 | 4) c) Fünfeck TORBE: T (–3 | –4); O (3 | –4); R (6 | 0); B (0 | 4); E (–6 | 0) 7 a) Skizziere die Situation und begründe, dass Nina Recht hat. b) Zeichne die Parallelogramme ABCD und berechne ihren Flächeninhalt. 1 A (0 | 1); B (4 | 0); C (5,5 | 1,5) 2 A (–2,5 | –2,5); B (1 | –2); D (–1,5 | –1,5) 3 A (0 | 2); B (–0,5 | 4); C (–2,5 | 4,5) 4 B (5,5 | 3); C (4,5 | 4,5); D (0,5 | 3,5) c) Zeichne in ein Koordinatensystem ein Parallelogramm (Rechteck) so ein, dass die Grundseite parallel zur x-Achse ist. Überprüfe dann die Formel von a), indem du die beiden Flächeninhalte zunächst auf herkömmliche Weise und anschließend über Vektoren und die Determinante berechnest. Felix: A = 1 __ 2 · | 6 –3 5 3 | FE = 1 __ 2 · (6 · 3 – 3 · 5) FE = 1,5 FE Eva : A = 1 __ 2 · | 5 3 6 –3 | FE = 1 __ 2 · (5 · (–3) – 3 · 6) FE = 16,5 FE Lösungen zu 1: 13,5; 10,5; 17,5; 5,5 Nu r z u Pr üf zw ec k n Ei ge nt um d s C .C .B uc hn er V er la gs